Cómo encontrar la raíz cuadrada de 4x ^ 4 + 8x ^ 3 + 8x ^ 2 + 4x + 1

Answer 1

Este problema probablemente se puede dividir en la raíz cuadrada de una función de tres términos; [math] (ax ^ 2 + bx + c) ^ 2 [/ math] me viene a la mente, pero eso solo si se hizo para desglosar así. Eso da como resultado la siguiente lámina:

[matemática] ax ^ 2 (ax ^ 2 + bx + c) + bx (ax ^ 2 + bx + c) + c (ax ^ 2 + bx + c) [/ matemática]. Eso es igual a

[matemáticas] a ^ 2x ^ 4 + abx ^ 3 + acx ^ 2 + abx ^ 3 + b ^ 2x ^ 2 + bcx + acx ^ 2 + bcx + c [/ matemáticas].

[matemáticas] a ^ 2x ^ 4 + 2abx ^ 3 + 2ab ^ 2cx ^ 2 + 2bcx + c [/ matemáticas]

Como su problema usa potencias de dos, podemos considerar las posibilidades, pero notemos que tenemos un a ^ 2 y ac muy visibles; a = +2 porque todos los signos que involucran un singular a siguen siendo positivos, y c es igual a 1.

Entonces, el vector es el siguiente: [matemáticas] = [/ matemáticas], que es un vector sin otra razón que no sea mi propia preferencia.

Entonces, establezcamos las dos cosas iguales entre sí y establezcamos x igual a 1

[matemáticas] 4x ^ 4 + 8x ^ 3 + 8x ^ 2 + 4x + 1 = a ^ 2x ^ 4 + 2abx ^ 3 + 2ab ^ 2cx ^ 2 + 2bcx + c [/ matemáticas]

Eliminemos todos los términos que no involucren a b, ya que se cancelarán cuando a y c se establezcan igual a 2 y 1 respectivamente.

[matemáticas] 8x ^ 3 = 2 (2) bx ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] 8x ^ 2 = 2 (2) b ^ 2 (1) x ^ 2 [/ matemáticas] // probablemente un error realmente tonto en alguna parte

[matemáticas] 4x = 2bcx [/ matemáticas]

Ahora, eliminemos x de ambos lados de las tres ecuaciones, ya que son indudablemente iguales.

[matemáticas] 8 = 4b [/ matemáticas]

[matemáticas] 8 = 4b ^ 2 [/ matemáticas] // probablemente un error realmente tonto en alguna parte.

[matemáticas] 4 = 2b [/ matemáticas]

Entonces, dos de ellos señalan que el vector [matemáticas] = [/ matemáticas]

Por lo tanto, la función es igual a [matemáticas] (2x ^ 2 + 2x + 1) ^ 2 [/ matemáticas]

es igual a [matemática] 2x ^ 2 (2x ^ 2 + 2x + 1) + 2x (2x ^ 2 + 2x + 1) +1 (2x ^ 2 + 2x + 1) [/ matemática]

es igual a [matemáticas] 4x ^ 4 + 4x ^ 3 + 2x ^ 2 + 4x ^ 3 + 4x ^ 2 + 2x + 2x ^ 2 + 2x + 1 [/ matemáticas]

es igual a [matemática] 4x ^ 4 + 8x ^ 3 + 8x ^ 2 + 4x + 1 [/ matemática].

Por lo tanto, la raíz cuadrada de la función es igual a [matemáticas] 2x ^ 2 + 2x + 1. [/ Matemáticas]

[matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

4x ^ 4 + 8x ^ 3 + 8x ^ 2 + 4x + 1
= 4x ​​^ 2 ( x ^ 2 + 2x + 2 ) + 4x + 1
= 4x ​​^ 2 ( (x + 1) ^ 2 + 1 ) + 4x + 1
= 4x ​​^ 2 (x + 1) ^ 2 + 4x ^ 2 + 4x + 1
= (2x (x + 1)) ^ 2+ 4x (x + 1) +1
= (2x (x + 1)) ^ 2 + 2 (2x (x + 1)) + 1 ^ 2
Entonces
= (2x (x + 1) +1) ^ 2
Entonces la raíz cuadrada es
(2x (x + 1) +1)
= 2x ^ 2 + 2x + 1
Esta es la respuesta

Answer 3

4x ^ 4 + 8x ^ 3 + 8x ^ 2 + 4x + 1

= 4x ​​^ 4 + 4x ^ 2 + 1 + 8x ^ 3 + 4x + 4x ^ 2

= (2x ^ 2) ^ 2 + (2x) ^ 2 + 1 ^ 2 + 2 * (2x ^ 2) (2x) + 2 * (2x) (1) + 2 * (1) (2x ^ 2)

Comparando esto con: a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c) ^ 2, obtenemos

= [2x ^ 2 + 2x + 1] ^ 2

Entonces, la raíz cuadrada de esto es simplemente: 2x ^ 2 + 2x + 1

Answer 4

Muy simple realmente:

Queremos una expresión cuadrática que cuando se multiplica por sí misma da la expresión anterior.

Entonces tenemos que tener (2x ^ 2 + ax + 1)

Probemos 2 x ^ 2 + 2 x + 1 y cuadrámoslo, porque un pequeño cálculo mental sugirió que funcionaría:

Los siguientes números representan el orden de las multiplicaciones. 11 significa primero por primero, 12 significa primero por segundo término, etc. y observa la forma en que los arreglo tres términos a la vez:

11, 12, 13 … 21, 22, 23 … 31, 32, 33:

4x ^ 4 + 4x ^ 3 + 2x

……… + 4x ^ 3 + 4x ^ 2 + 2x

……………… .. + 2x ^ 2 + 2x +1

esto, por supuesto, nos da el cuarto original … ¡TaDa!

Entonces, la primera suposición del coeficiente de x fue correcta. Y si no fuera así, podríamos corregirlo comparando la respuesta con el original :).

Answer 5

Usar fórmula
(a + b + c) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2 (ab + bc + ca
para a = 2x ^ 2, b = 2x, c = 1 obtenemos
(2x ^ 2 + 2x + 1) ^ 2 = 4x ^ 4 + 4x ^ 2 + 1 + 2 (4x ^ 3 + 2x + 2x ^ 2) = 4x ^ 4 + 8x ^ 3 + 8x ^ 2 + 4x + 1
Por lo tanto, la raíz cuadrada de 4x ^ 4 + 8x ^ 3 + 8x ^ 2 + 4x + 1 es 2x ^ 2 + 2x + 1.

Answer 6

[matemáticas] \ sqrt {4x ^ 4} = 2x ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {4x ^ 4 + 8x ^ 3 + 8x ^ 2 + 4x + 1} = (2x ^ 2 + hacha + 1) ^ 2 [/ matemáticas]

Usando la fórmula [matemáticas] (a + b + c) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2 ab + 2 bc + 2 ca [/ matemáticas]

Si expandimos el lado derecho y equiparamos el coeficiente de [matemáticas] x ^ 3 [/ matemáticas]

obtenemos 4 a = 8 por lo tanto a = 2

[matemáticas] \ sqrt {4x ^ 4 + 8x ^ 3 + 8x ^ 2 + 4x + 1} = ± (2x ^ 2 + 2x + 1) [/ matemáticas]

Answer 7

Deje que la raíz cuadrada sea ax ^ 2 + bx + c

Por lo tanto, (ax ^ 2 + bx + c) ^ 2 = 4x ^ 4 + 8x ^ 3 + 8x ^ 2 + 4x + 1

Al expandir el LHS y comparar los coeficientes (le recomiendo que haga esto usted mismo y no solo tome mi palabra), obtendrá a = 2, b = 2, c = 1.

Entonces, la raíz cuadrada se convierte en (2x ^ 2 + 2x + 1) …

Answer 8

Si tratamos de factorizar el anterior en cuadrados, obtenemos,

[matemáticas] (2x ^ 2 + 2x + 1) ^ 2 [/ matemáticas]

Entonces, el cuadrado de la función anterior, [matemática] \ sqrt {4x ^ 4 + 8x ^ 3 + 8x ^ 2 + 4x + 1} [/ matemática] es,

[matemáticas] 2x ^ 2 + 2x + 1 [/ matemáticas]

Gracias por el A2A

Answer 9

Answer 10

Esto ya ha sido respondido, pero aquí hay una idea para problemas similares. La raíz cuadrada debe tener la mitad del grado. Entonces la factorización en dos factores idénticos se ve como (2x ^ 2 + ax + 1) ^ 2. El primer y el último término son obvios, lo que le permite averiguar qué tiene que ser para que esto funcione.

Intenta hacer esto en lugar de copiar las otras respuestas.