Cómo evaluar la integral [matemáticas] \ int12xe ^ {- 2x} \, dx [/ matemáticas]

Answer 1

Integremos [math] \ int 12xe ^ {- 2x} dx [/ math]

Como tenemos un exponencial aquí, es bueno estar familiarizado con la regla de cómo integrar uno: [matemáticas] \ int e ^ {kx} dx = \ frac {1} {k} e ^ {kx} [/ matemáticas ]

Primero nos deshacemos de la constante: [matemáticas] 12 \ cdot \ int xe ^ {- 2x} dx [/ matemáticas]

Ahora de alguna manera necesitamos integrar el producto de [math] x [/ math] y [math] e ^ {- 2x}. [/ Math]

Eso nos apunta a la integración por partes (por partes), que se define como

[matemáticas] \ int u \ cdot v ‘dx = u \ cdot v – \ int u’ \ cdot v [/ math]

Entonces tenemos que elegir [math] u [/ math] y [math] v ‘. [/ Math]

Probemos [matemáticas] u = x [/ matemáticas] y [matemáticas] v ‘= e ^ {- 2x}. [/ Matemáticas] Entonces [matemáticas] v = \ frac {-1} {2} \ cdot e ^ { -2x}. [/matemáticas]

Entonces obtenemos:

[matemáticas] 12 \ int xe ^ {- 2x} dx = 12 (x \ cdot \ frac {-e ^ {- 2x}} {2} – \ int \ frac {-e ^ {- 2x}} {2} dx) [/ matemáticas]

Podemos sacar la [matemática] \ frac {-1} {2} [/ matemática] de la integral:

[matemáticas] 12 \ int xe ^ {- 2x} dx = -6 (x \ cdot e ^ {- 2x} – \ int e ^ {- 2x} dx) [/ math]

Desde aquí es casi trivial, solo aplicamos la regla para integrar el exponente y sumamos todo para obtener

[matemáticas] -6x e ^ {- 2x} – 3e ^ {- 2x} = -3 (2x + 1) e ^ {- 2x} [/ matemáticas]

Answer 2

dejemos usar la integración por parte aquí

let [matemáticas] u = 12x [/ matemáticas]; [matemáticas] dv = e ^ {- 2x} [/ matemáticas]

por lo tanto, [math] du = 12dx [/ math] y [math] v = – \ frac {1} {2} e ^ {- 2x} [/ math]

[matemáticas] \ int 12xe ^ {- 2x} \, dx = -6xe ^ {- 2x} – \ int -6e ^ {- 2x} \, dx [/ math] porque [matemáticas] \ frac {1} {2 } [/ matemáticas] x [matemáticas] 12 = 6 [/ matemáticas]

[math] = – 6xe ^ {- 2x} -3 \ int -2e ^ {- 2x} \, dx [/ math]

[matemáticas] = – 6xe ^ {- 2x} -3e ^ {- 2x} [/ matemáticas]

[matemáticas] = (- 3e ^ {- 2x}) (2x + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int 12xe ^ {- 2x} = (- 3e ^ {- 2x}) (2x + 1) [/ matemáticas]

Answer 3

Supongamos, de manera más general, que se nos pide encontrar

[matemática] I = \ int p (x) e ^ {- ax} dx [/ matemática] donde [matemática] a [/ matemática] es una constante y [matemática] p (x) [/ matemática] es un polinomio. Esta es una forma que debe ser memorizada como solucionable por integración por partes:

[matemáticas] I = \ int p (x) e ^ {- ax} dx = \ int p (x) (\ frac {-e ^ {- ax}} {a}) ‘dx [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] I = – \ frac {p (x) e ^ {- ax}} {a} + \ frac {1} {a} \ int p ‘(x) e ^ {- ax} dx [/ matemáticas ]

El nuevo integrando tiene un polinomio de menor grado. Las otras soluciones que se muestran aquí utilizan este principio.

Answer 4

Usando la identidad,

[matemáticas] \ int xe ^ {cx} dx = \ frac {e ^ {cx}} {c ^ 2} (cx-1) + C [/ matemáticas]

Ahora, trayendo [matemáticas] 12 [/ matemáticas] al frente como una constante,

[matemáticas] 12 \ int xe ^ {- 2x} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] 12 (\ frac {e ^ {- 2x}} {4} (- 2x-1) + C [/ matemáticas]

[matemáticas] 3e ^ {- 2x} (- 2x-1) + C [/ matemáticas]

[matemáticas] – (6e ^ {- 2x} + 3e ^ {- 2x}) + C [/ matemáticas]

Gracias por el A2A

Answer 5

1) coloque el coeficiente (12) antes de la integral.
2) Tome u = x y v = e ^ -2x.
3) Aplicar la integración por fórmula de partes (encontrar en el libro de texto).
4) Resuelve y 🙂 (sonríe)