El sistema se puede modelar con un ODE de orden [matemática] 2 ^ {nd} ~ [/ matemática]. El servo ángulo [matemática] \ theta (t) ~ [/ matemática] es la entrada y la salida es la posición de la masa del automóvil [matemática] x_m (t) ~ [/ matemática].
Utilizaremos la Ley de cosenos para relacionar [math] \ theta (t) ~ [/ math] con el perfil del camino [math] x_r (t) ~ [/ math].
[matemáticas] x_r (t) = \ frac {2 \ textbf {r} \ cos {(\ pi / 2 – \ theta (t))} \ pm \ sqrt {4 \ textbf {r} ^ 2 \ cos {( \ pi / 2 – \ theta (t))} – 4 (\ textbf {r} ^ 2 – \ textbf {l} ^ 2)}} {2} [/ math]
La ecuación anterior se puede simplificar significativamente si suponemos que [math] \ textbf {r} = \ textbf {l} ~ [/ math]. También tenga en cuenta que tiene dos soluciones, pero solo usaremos la positiva. La ecuación simplificada nos da la siguiente trayectoria de tiempo para [math] x_r (t) ~ [/ math].
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[matemáticas] x_r (t) = 2 \ textbf {r} \ cos {(\ pi / 2 – \ theta (t))} [/ matemáticas]
La siguiente EDO, que se basa en el equilibrio de las fuerzas que actúan sobre la masa, define la dinámica del sistema; donde [math] \ textbf {k} ~ [/ math] es la constante de resorte en [math] N / m ~ [/ math], [math] \ textbf {b} ~ [/ math] es la ración de amortiguación en [ matemática] N / (m / s) ~ [/ matemática] y [matemática] \ textbf {m} ~ [/ matemática] es la masa en [matemática] kg ~ [/ matemática].
[matemáticas] \ textbf {m} \ ddot {x} _m (t) = – \ textbf {k} (x_m (t) – x_r (t)) – \ textbf {b} (\ dot {x} _m (t ) – \ dot {x} _r (t)) [/ math]
Obtenemos la siguiente ecuación para el sistema de amortiguador de masa conectando [math] x_r (t) ~ [/ math] en el ODE.
[matemáticas] \ textbf {m} \ ddot {x} _m (t) = – \ textbf {k} (x_m (t) – 2 \ textbf {r} \ cos {(\ pi / 2 – \ theta (t) )}) – \ textbf {b} (\ dot {x} _m (t) + 2 \ textbf {r} \ sin {(\ pi / 2 – \ theta (t)) \ dot {\ theta} (t) } )[/matemáticas]
Es posible, probablemente no fácil, resolver [math] x_m (t) ~ [/ math] analíticamente usando la Transformada de Laplace para una [math] \ theta (t) ~ [/ math] dada. Sin embargo, podemos obtener numéricamente trayectorias para el sistema.
Los parámetros del sistema se eligen como: [matemática] \ textbf {m} = 1 ~ kg ~, \ textbf {k} = 1 ~ N / m ~, \ textbf {b} = 0.5 ~ N / (m / s) ~ , \ textbf {r} = \ textbf {l} = 1 ~ m ~ [/ math]. La respuesta de tiempo del sistema y el retrato de fase, cuando el servo se gira con un período de [matemática] T = 4 ~ s ~ [/ matemática], se muestran a continuación. El sistema se inicia estacionario en origen y parece establecerse en un ciclo límite estable después de las oscilaciones iniciales.