Cómo encontrar asíntotas de un gráfico

Asíntotas verticales : por lo general, las asíntotas verticales aparecerán en su gráfico en los lugares donde obtiene la división por cero, pero hay otros casos, generalmente cuando [matemáticas] x [/ matemáticas] no está en el dominio de [matemáticas] f (x) [ / math] y el dominio es intervalo abierto.

División por cero:

Caso simple: como [math] x \ to 3 ^ +, \ dfrac {1} {x-3} \ to \ infty [/ math] (como [math] x [/ math] se acerca a [math] 3 [/ math ] desde la derecha, [math] \ dfrac {1} {x-3} [/ math] se acerca al infinito)

Por lo general, los problemas serán un poco más complicados, como

[matemáticas] f (x) = \ dfrac {5x ^ 2 + 10x-15} {x ^ 2-5x-6} [/ matemáticas]

Puede determinar las asíntotas por factorización.

[matemáticas] \ dfrac {5x ^ 2 + 10x-15} {x ^ 2-5x-6} = \ dfrac {5 (x + 3) (x-1)} {(x-6) (x + 1) }[/matemáticas]

Tanto [matemática] x = 6 [/ matemática] como [matemática] x = -1 [/ matemática] dan como resultado la división por cero. Entonces tienes tus asíntotas, pero ¿el gráfico explota hasta el infinito negativo o positivo? Eso realmente depende de qué lado de la asíntota estés. El gráfico puede no verse igual cuando [math] x \ to 6 ^ + [/ math] como cuando [math] x \ to 6 ^ – [/ math] (y en este caso no lo es).

Para determinar el comportamiento de la asíntota, divida la función en intervalos y vea qué intervalos son negativos o positivos. Ahí es donde factorizar el numerador puede ser útil. Si el gráfico es positivo en un lado de la asíntota, explotará hasta el infinito positivo en ese lado. Si el gráfico es negativo en el otro lado, explotará hasta el infinito negativo en ese lado. Por ejemplo, ¿es [matemática] f [/ matemática] positiva o negativa en el intervalo [matemática] [1,6] [/ matemática]? Puede determinar a través de algunos puntos de prueba que es negativo, por ejemplo, [matemática] x \ a 6 ^ -, f (x) \ a – \ infty [/ matemática]. Del mismo modo que [math] x \ to 6 ^ +, f (x) \ to + \ infty. [/ Math]

Hay casos en que la división por cero no da como resultado una asíntota vertical. Tome [matemáticas] f (x) = \ dfrac {x ^ 2 + 8x + 15} {x ^ 2-9} [/ matemáticas]. A primera vista parece que habrá asíntotas en [math] x = \ pm 3 [/ math]. Sin embargo, cuando factorizamos obtenemos [matemáticas] \ dfrac {(x + 5) (x + 3)} {(x + 3) (x-3)} = [/ matemáticas] [matemáticas] \ dfrac {(x + 5)} {(x-3)} [/ math] para todos los valores de [math] x [/ math] no iguales a [math] -3 [/ math]. Los términos [matemática] x-3 [/ matemática] se cancelan. Si grafica [matemática] f (x) [/ matemática] obtendrá una asíntota en [matemática] x = 3 [/ matemática], pero en [matemática] x = -3 [/ matemática] la gráfica se verá casi continuo; Habrá solo un pequeño agujero.

[math] \ ln (x) [/ math] y [math] \ log_a (x) [/ math] también tienen asíntotas verticales. Como [matemática] x \ a 0 ^ +, \ ln (x) \ a – \ infty. [/ Matemática] Entonces [matemática] x = 0 [/ matemática] es una asíntota vertical para todas las ecuaciones de esa forma.

Tenga en cuenta que las asíntotas verticales son ecuaciones. Decir que [math] 2 [/ math] es una asíntota vertical no tiene sentido. Tienes que decir que [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas] es una asíntota. Las asíntotas verticales son líneas, no números.

Asíntotas horizontales

Para encontrar las asíntotas horizontales, pregunte qué sucede con [math] f [/ math] cuando [math] | x | [/ math] se vuelve realmente grande. En otras palabras, como [math] x \ to \ pm \ infty. [/ Math] Si la respuesta es constante (como [math] 5 [/ math]), entonces tiene una asíntota horizontal. Si la respuesta es [matemática] \ pm \ infty [/ matemática] como para [matemática] f (x) = x ^ 3 [/ matemática], entonces no hay asíntota horizontal.

Volvamos a la ecuación de la parte anterior.

[matemáticas] f (x) = \ dfrac {5x ^ 2 + 10x-15} {x ^ 2-5x-6} [/ matemáticas] Esta factorización de tiempo no será de ninguna utilidad. El truco aquí es dividir el numerador y el denominador entre [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas].

[matemáticas] \ dfrac {5x ^ 2 + 10x-15} {x ^ 2-5x-6} = \ dfrac {x ^ 2} {x ^ 2} \ times \ dfrac {5+ \ frac {10} {x } – \ frac {15} {x ^ 2}} {1 – \ frac {5} {x} – \ frac {6} {x ^ 2}} [/ math]

Con factores de [math] x [/ math] en los denominadores de todos esos términos, como [math] x [/ math] tiende al infinito, esos términos se acercarán a cero. [matemática] \ dfrac {x ^ 2} {x ^ 2} = 1 [/ matemática] así que déjalo.

Entonces, como [math] x \ to \ infty, f (x) \ to \ dfrac {5 + 0 – 0} {1 – 0 – 0} = 5 [/ math]

En la notación de límite esto sería [math] \ underset {x \ to \ infty} {\ textrm {lim}} f (x) = 5 [/ math]

En general, cuando tiene un polinomio sobre otro donde ambos polinomios son del mismo grado, solo mire los coeficientes de los términos principales de cada polinomio. La asíntota horizontal será el coeficiente principal del término superior dividido por el coeficiente principal del término inferior (establecido igual a [matemática] y [/ matemática])

Si el polinomio superior tiene un mayor grado, el polinomio superior crecerá mucho más rápido que el inferior, por lo que no habrá asíntota horizontal. Si el polinomio inferior tiene un mayor grado, el fondo se acercará al infinito mucho más rápido que el superior, por lo que la asíntota será [matemática] y = 0. [/ Matemática]

Asíntotas inclinadas

Por lo general, necesitará usar la división polinómica para encontrar la asíntota inclinada de un gráfico. Así es como funciona. Tienes un polinomio dividido por otro de menor grado. Trabaja la división y el resto. El resto se acercará a cero como [math] x \ to \ infty [/ math]. Los otros términos le darán la ecuación para una asíntota inclinada.

Ejemplo: [matemáticas] \ dfrac {x ^ 2 + 6x + 2} {x + 5} = x + 1- \ dfrac {3} {x + 5} [/ matemáticas]

Como [math] x \ to \ infty [/ math], el último término se convierte en cero, así que [math] f (x) \ to x + 1 [/ math]. Entonces, simplemente grafica la línea [matemáticas] y = [/ matemáticas] [matemáticas] x + 1 [/ matemáticas] como la asíntota inclinada.