Cómo encontrar una expresión de forma cerrada de [matemática] x_n [/ matemática] si [matemática] \ {x_n \} [/ matemática] es una secuencia tal que [matemática] x_1 = 2, x_2 = 1 [/ matemática] y [ matemática] 2x_n-3x_ {n-1} + x_ {n-2} = 0 [/ matemática] para [matemática] n> 2 [/ matemática]

Answer 1

Se nos da la relación de recurrencia,

[matemáticas] 2x_n-3x_ {n-1} + x_ {n-2} = 0 [/ matemáticas]

Esta es una recurrencia específica,

[matemáticas] 2,1, \ dfrac {1} {2}, \ dfrac {1} {4}, \ dfrac {1} {8}, \ cdots [/ math]

[matemáticas] x_n = 4 \ izquierda (\ dfrac {1} {2} \ derecha) ^ n [/ matemáticas]

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La solución general de recurrencia como esta se hace como

Vea la ecuación y divida entre [matemáticas] X ^ {n-2} [/ matemáticas]

[matemáticas] 2X ^ n-3X ^ {n-1} + X ^ {n-2} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2X ^ 2-3X + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] X = \ dfrac {3 \ pm \ sqrt {9-4 * 2 * 1}} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] X = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ dfrac {1} {2} [/ matemáticas]

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[matemáticas] x_n = C_1X_1 ^ n + C_2X_2 ^ n [/ matemáticas]

Poner [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_1 = C_1 (1) ^ 1 + C_2 \ left (\ dfrac {1} {2} \ right) ^ 1 [/ math]

[matemáticas] 2 = C_1 + \ dfrac {1} {2} C_2 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] 2C_1 + C_2 = 4 [/ matemáticas]

Del mismo modo, [matemáticas] 4C_1 + C_2 = 4 [/ matemáticas]

Resuelve las ecuaciones simultáneamente,

[matemáticas] C_1 = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] C_2 = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_n = C_1X_1 ^ n + C_2X_2 ^ n [/ matemáticas]

[matemáticas] x_n = 4 \ izquierda (\ dfrac {1} {2} \ derecha) ^ n [/ matemáticas]

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Para más detalles, mira

Answer 2

La forma en que aprendimos a resolver tales recurrencias en la universidad,

tomar [matemáticas] x_n = r ^ n [/ matemáticas].

Entonces, [matemáticas] 2.r ^ n – 3.r ^ {n-1} + r ^ {n-2} = 0 [/ matemáticas].

Dividiendo entre [matemáticas] r ^ {n-2} [/ matemáticas] obtenemos,

[matemáticas] 2r ^ 2 – 3r + 1 = 0 [/ matemáticas].

o (r-1). (2r – 1) = 0,

[matemáticas] r = 1, \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

Entonces, forma general para [matemáticas] x_n = C_1. (1) ^ n + C_2. (\ Frac {1} {2}) ^ n [/ matemáticas]

o, [matemáticas] x_n = C_1 + C_2. (2) ^ {- n} [/ matemáticas]

Poniendo n = 1,

[matemáticas] C_1 + C_2 / 2 = 2 [/ matemáticas]. ————— (1)

Y poniendo n = 2,

[matemáticas] C_1 + C_2 / 4 = 1 [/ matemáticas]. ————– (2)

Restando (2) de (1),

[matemática] C_2 / 4 = 1 [/ matemática] o [matemática] C_2 = 4 [/ matemática].

Poniendo el valor obtenido en (1),

[matemáticas] C_1 = 0 [/ matemáticas].

Entonces, [matemáticas] x_n = \ frac {4} {2 ^ n} [/ matemáticas]