¿Cuál es el valor de [matemáticas] \ lim_ {x \ to \ infty} x \ cdot \ {\ arctan \ left (\ frac {x + 1} {x + 4} \ right) – \ frac {\ pi} { 4} \} [/ matemáticas]?

Answer 1

Ah, no, la regla de L’Hospital lo hace un poco desafiante, pero ¿qué es la vida sin sus desafíos?

En primer lugar, asumimos este lema (demostrando que no es ciencia espacial si conoce sus límites):

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ displaystyle \ frac {\ arctan x} {x} = 1 [/ math].

Ahora, el límite dado tiene un término arctan y un [math] \ displaystyle \ frac {\ pi} {4} [/ math]. Reconozca que [math] \ displaystyle \ frac {\ pi} {4} [/ math] puede escribirse como arctan (1) y tenemos una diferencia de 2 términos de arctan dentro del paréntesis grande. Use la regla [matemáticas] \ displaystyle \ arctan a- \ arctan b = \ arctan \ frac {ab} {1 + ab} [/ math] y obtenemos (después de un poco de álgebra):

[matemáticas] \ displaystyle L = \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} x \ cdot \ {arctan \ displaystyle \ left (\ frac {-3} {2x + 5} \ right) \} [/ math]

Ahora, reemplace x como [math] \ displaystyle x = \ frac {1} {t} [/ math] y obtenemos:

[matemáticas] \ displaystyle L = -1 \ cdot \ lim_ {t \ to 0} \ frac {\ arctan \ displaystyle \ left (\ frac {3t} {5t + 2} \ right)} {t} [/ math]

Ahora, vemos que el argumento del término arctan tenderá a cero como t tiende a cero. Entonces, todo lo que necesitamos es el mismo término en el denominador, que se logra fácilmente (me he saltado el álgebra).

[matemáticas] \ displaystyle L = -1 \ cdot \ lim_ {t \ to 0} \ frac {\ arctan \ displaystyle \ left (\ frac {3t} {5t + 2} \ right)} {\ displaystyle \ frac {3t } {5t + 2}} \ cdot \ displaystyle \ lim_ {t \ to 0} \ displaystyle \ frac {3} {5t + 2} [/ math]

El primer límite es 1 y el segundo es 1.5, por lo tanto obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} x \ cdot \ {\ arctan \ displaystyle \ left (\ frac {x + 1} {x + 4} \ right) – \ frac {\ pi} {4 } \} = -1.5 [/ matemáticas]