Cómo probar esta identidad trigonométrica

La pregunta original era diferente como se indica en la primera línea a continuación.
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(1 + t) / (1-t) = 1 / (ct-1) = 1 / (1 / t -1). Eq1. (VEA la solución al final de la página

(1 + t) / (1-t) = t / (1-t) cross mult.

(1-t) (1 + t) = t (1-t)

1-t ^ 2 = t – t ^ 2

t = 1

Tan (x) = 1

x = (π / 4 + 2nπ), (5π / 4 + 2nπ).

Sin embargo, cuando t = 1 se devuelve a Eq1, obtenemos

2/0 = inf y dado que la cancelación de t ^ 2 no hay ni siquiera un número complejo con el que jugar. No parece que haya una solución razonable disponible

Sea s = sen x, c = cos x, ct = cot x y t = tan x

S / (1- ct) + c / (1-t)

S / [{sc} / s] + c / [{cs} / c]

s ^ 2 / (sc) + c ^ 2 / (cs)

s ^ 2 / (sc) – c ^ 2 / (sc)

(s ^ 2 – c ^ 2) / (sc)

(sc) (s + c) / (sc). = sen x. + cos x

En respuesta a su consulta sobre la cancelación, estos términos no se pueden cancelar.

Por ejemplo (5 × 3 + 7 × 2) / (2 × 3) no es igual a (5 + 7)

El (2 × 3) no se cancela. Si en cambio hubo una multiplicación por encima de la línea, se producirá la cancelación.

P.ej. (5 × 3 × 7 × 2) / (2 × 3) = 5 × 7 (2 × 3) los términos se cancelan.

La pregunta, como se dijo, pregunta:

Demostrar: [matemáticas] \ displaystyle \ frac {1+ \ tan \ theta} {1- \ tan \ theta} = \ frac {1} {\ cot \ theta – 1} [/ math]

Lo que intenta probar no es correcto. Para entender esto, tenga en cuenta que el lado izquierdo se convierte en [matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ cos \ theta + \ sin \ theta} {\ cos \ theta – \ sin \ theta} [/ matemáticas], mientras que el lado derecho se convierte en [ matemática] \ displaystyle \ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta – \ sin \ theta} [/ math]. Si esto fuera cierto, habríamos tenido [matemáticas] \ cos \ theta + \ sin \ theta = \ sin \ theta [/ matemáticas].

Alternativamente, también puede probar esto conectando algunos valores reales de [math] \ theta [/ math], por ejemplo [math] \ displaystyle \ frac {\ pi} {3} [/ math]. Entonces, el lado izquierdo es igual a [matemáticas] \ displaystyle \ frac {1 + \ sqrt {3}} {1 – \ sqrt {3}} [/ matemáticas] mientras que el lado derecho es [matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ sqrt {3}} {1 – \ sqrt {3}} [/ math].

Tenemos: [matemáticas] \ dfrac {\ sin (\ theta)} {1- \ cot (\ theta)} + \ dfrac {\ cos (\ theta)} {1- \ tan (\ theta)} [/ math ]

Apliquemos algunas identidades trigonométricas estándar; [matemática] \ cot (\ theta) = \ dfrac {\ cos (\ theta)} {\ sin (\ theta)} [/ math] y [math] \ tan (\ theta) = \ dfrac {\ sin (\ theta)} {\ cos (\ theta)} [/ math]:

[matemáticas] = \ dfrac {\ sin (\ theta)} {1- \ dfrac {\ cos (\ theta)} {\ sin (\ theta)}} + \ dfrac {\ cos (\ theta)} {1- \ dfrac {\ sin (\ theta)} {\ cos (\ theta)}} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {\ sin (\ theta)} {\ dfrac {\ sin (\ theta) – \ cos (\ theta)} {\ sin (\ theta)}} + \ dfrac {\ cos (\ theta )} {\ dfrac {\ cos (\ theta) – \ sin (\ theta)} {\ cos (\ theta)}} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {\ sin (\ theta) \ cdot \ sin (\ theta)} {\ sin (\ theta) – \ cos (\ theta)} + \ dfrac {\ cos (\ theta) \ cdot \ cos (\ theta)} {\ cos (\ theta) – \ sin (\ theta)} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {\ sin ^ {2} (\ theta)} {\ sin (\ theta) – \ cos (\ theta)} + \ dfrac {\ cos ^ {2} (\ theta)} {\ cos (\ theta) – \ sin (\ theta)} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {\ sin ^ {2} (\ theta)} {\ sin (\ theta) – \ cos (\ theta)} + \ dfrac {\ cos ^ {2} (\ theta)} {- \ big (\ sin (\ theta) – \ cos (\ theta) \ big)} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {\ sin ^ {2} (\ theta)} {\ sin (\ theta) – \ cos (\ theta)} – \ dfrac {\ cos ^ {2} (\ theta)} {\ sin (\ theta) – \ cos (\ theta)} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {\ sin ^ {2} (\ theta) – \ cos ^ {2} (\ theta)} {\ sin (\ theta) – \ cos (\ theta)} [/ math]

El numerador es una diferencia de dos cuadrados que se pueden factorizar como:

[matemáticas] = \ dfrac {\ big (\ sin (\ theta) + \ cos (\ theta) \ big) \ big (\ sin (\ theta) – \ cos (\ theta) \ big)} {\ sin ( \ theta) – \ cos (\ theta)} [/ math]

[matemáticas] = \ sin (\ theta) + \ cos (\ theta) \ hspace {1 mm} [/ matemáticas] (QED)

[matemáticas] \ dfrac {\ sin \ theta} {1- \ cot \ theta} + \ dfrac {\ cos \ theta} {1- \ tan \ theta} = \ dfrac {\ sin \ theta} {- \ cot \ theta (1- \ tan \ theta)} + \ dfrac {\ cos \ theta} {1- \ tan \ theta} [/ math]

entonces

[matemáticas] – \ dfrac {\ sin \ theta} {\ cot \ theta} = \ dfrac {\ sin \ theta} {\ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta}} = – \ dfrac {\ sin ^ 2 \ theta} {\ cos \ theta} [/ math]

entonces tenemos

[matemáticas] – \ dfrac {\ sin ^ 2 \ theta} {\ cos \ theta} \ dfrac {1} {1- \ tan \ theta} + \ dfrac {\ cos \ theta} {1- \ tan \ theta} = – \ dfrac {1} {\ cos \ theta} \ left (\ dfrac {\ sin ^ 2 \ theta} {1- \ tan \ theta} – \ dfrac {\ cos ^ 2 \ theta} {1- \ tan \ theta} \ right) [/ math]

multiplicando así por el denominador

[matemáticas] \ cos \ theta (1- \ tan \ theta) = \ cos \ theta – \ sin \ theta [/ math]

el numerador es

[matemáticas] a ^ 2-b ^ 2 = (ab) (a + b) [/ matemáticas]

donde en nuestro caso [matemáticas] a = \ sin \ theta [/ matemáticas] y [matemáticas] b = \ cos \ theta [/ matemáticas]

entonces llegamos a

[matemáticas] \ dfrac {(\ sin \ theta – \ cos \ theta) (\ sin \ theta + \ cos \ theta)} {\ cos \ theta – \ sin \ theta} = \ sin \ theta + \ cos \ theta [/matemáticas]

El fin.

Tome el LHS y convierta todo en funciones seno y coseno .

Simplifique un poco e intente tomar lo más común que pueda.