¿Es la solución [matemática] x [/ matemática] de [matemática] 2 ^ x + 3 ^ x = 25 [/ matemática] racional o irracional? ¿Se puede probar la racionalidad de x [matemáticas] x [/ matemáticas]?

Answer 1

La solución es irracional.

(EDITAR: He modificado ligeramente el argumento para poner más detalles y espero que sea algo más fácil de seguir).

Para probar esto, primero notaré que [math] x [/ math] no puede ser un número entero; esto se deduce de la respuesta de Sven Skoog, por ejemplo (solo hacer una búsqueda directa de fuerza bruta también funcionaría).

Entonces, tenemos que demostrar que no hay solución [matemática] x = m / n [/ matemática] donde [matemática] m, n [/ matemática] son ​​enteros coprimos y [matemática] n [/ matemática] es al menos 2 Podemos hacer esto considerando las raíces de [matemáticas] X ^ n – 2 ^ m [/ matemáticas] y [matemáticas] X ^ n – 3 ^ m [/ matemáticas].

Las raíces de [matemáticas] X ^ n – 2 ^ m [/ matemáticas] son ​​[matemáticas] \ zeta_n ^ k 2 ^ {m / n} [/ matemáticas], donde [matemáticas] \ zeta_n [/ matemáticas] es una primitiva [matemáticas] n [/ matemáticas] -th raíz de la unidad. Así

[matemáticas] X ^ n – 2 ^ m = (X – 2 ^ {m / n}) (X – \ zeta_n 2 ^ {m / n}) \ ldots (X – \ zeta_n ^ {n-1} 2 ^ {m / n}) [/ matemáticas]

y así [matemáticas] – (2 ^ {m / n} + \ zeta_n 2 ^ {m / n} + \ ldots + \ zeta_n ^ {n – 1} 2 ^ {m / n}) [/ matemáticas] es igual al coeficiente de [matemática] X [/ matemática] en [matemática] X ^ n – 2 ^ m [/ matemática], que es cero, ya que [matemática] n \ geq 2 [/ matemática].

Del mismo modo, las raíces de [matemáticas] X ^ n – 3 ^ m [/ matemáticas] son ​​[matemáticas] \ zeta_n ^ k 3 ^ {m / n} [/ matemáticas], y su suma debe ser cero, exactamente igual razonamiento.

Desafortunadamente, para continuar voy a necesitar hacer uso de alguna teoría de Galois (posiblemente haya una solución más fácil, pero si la hay, no se me ocurrió).

Introduciré el campo [math] K = \ mathbb {Q} (2 ^ {1 / n}, \ zeta_n) [/ math], que es el campo de división de [math] X ^ n – 2 [/ math] . Dado que es un campo de división, de hecho es una extensión de Galois, y por lo tanto podemos hablar de su grupo de Galois. Aún mejor, [matemática] X ^ n – 2 [/ matemática] es irreducible por el criterio de Eisenstein, por lo tanto, el grupo de Galois actúa de forma transitiva sobre las raíces de este polinomio. Dado que las raíces son [matemáticas] \ zeta_n ^ k 2 ^ {1 / n} [/ matemáticas], esto nos dice que siempre podemos encontrar un automorfismo de Galois que enviará [matemáticas] 2 ^ {1 / n} \ mapsto \ zeta_n ^ k 2 ^ {1 / n} [/ math] para cualquier número entero [math] k [/ math]. Esto será muy útil en breve.

Suponga que [matemáticas] 3 ^ {m / n} = 25 – 2 ^ {m / n} [/ matemáticas]. Entonces está en [matemáticas] K [/ matemáticas], y de hecho [matemáticas] X ^ n – 3 ^ m [/ matemáticas] se divide en [matemáticas] K [/ matemáticas] (es decir, todas las raíces de esta mentira polinómica dentro de [matemáticas] K [/ matemáticas]). El grupo de Galois tomará cualquier raíz de [matemáticas] X ^ n – 3 ^ m [/ matemáticas] y la enviará a otra raíz de este polinomio. Para ver esto, deje que [math] x [/ math] sea una raíz y [math] \ sigma [/ math] sea un automorfismo de Galois y tenga en cuenta que

[matemática] 0 = \ sigma (0) = \ sigma (x ^ n – 3 ^ m) = \ sigma (x) ^ n – 3 ^ m [/ matemática].

Dado que tenemos una idea aproximada de cómo el grupo de Galois barajará elementos, incluso podemos ser más específicos sobre dónde los automorfismos enviarán estas raíces: enviará [matemáticas] 25 – 2 ^ {m / n} \ mapsto 25 – (\ zeta_n ^ k 2 ^ {1 / n}) ^ m = 25 – \ zeta_n ^ {km} 2 ^ {m / n} [/ math].

Ahora, dado que [math] m [/ math] y [math] n [/ math] son ​​números coprimos, podemos encontrar un número entero [math] k, l [/ math] tal que [math] km + nl = t [/ math] para cualquier número entero [math] t [/ math], entonces [math] km = t – nl [/ math]. Pero luego se deduce que

[matemáticas] 25 – \ zeta_n ^ {km} 2 ^ {m / n} = 25 – \ zeta_n ^ {t – nl} 2 ^ {m / n} = 25 – \ zeta_n ^ t2 ^ {m / n} [ /matemáticas].

Entonces, sabemos que podemos encontrar un automorfismo de Galois que enviará [matemáticas] 25 – 2 ^ {m / n} \ mapsto 25 – \ zeta_n ^ t 2 ^ {m / n} [/ matemáticas] para cualquier número entero [matemáticas ] t [/ matemáticas]. Como [matemáticas] X ^ n – 3 ^ m [/ matemáticas] tiene raíces [matemáticas] n [/ matemáticas] (recuerde, este polinomio se divide en [matemáticas] K [/ matemáticas]), podemos concluir de todo esto que las raíces son precisamente [matemáticas] (25 – 2 ^ {m / n}), (25 – \ zeta_n 2 ^ {m / n}), \ ldots (25 – \ zeta_n ^ {n – 1} 2 ^ {m / n}) [/ matemáticas]

Finalmente hemos llegado a nuestra contradicción, porque esto significa que la suma de las raíces de [matemáticas] X ^ n – 3 ^ m [/ matemáticas] es

[matemáticas] (25 – 2 ^ {m / n}) + (25 – \ zeta_n 2 ^ {m / n}) + \ ldots + (25 – \ zeta_n ^ {n – 1} 2 ^ {m / n} ) = 25n \ neq 0 [/ matemática].

Ergo, [matemáticas] 3 ^ {m / n} \ neq 25 – 2 ^ {m / n} [/ matemáticas], y hemos terminado.

Answer 2

Suponga que la solución fue racional y escriba [math] x = p / q [/ math] en términos más bajos con [math] q> 1 [/ math], entonces la igualdad dada implica una igualdad de campos [math] \ mathbf Q (2 ^ {1 / q}) = \ mathbf Q (3 ^ {1 / q}) [/ math], que implica [matemática] K (2 ^ {1 / q}) = K (3 ^ {1 / q}) [/ math] donde [math] K = \ mathbf Q (\ zeta_q) [/ math]. Según la teoría de Kummer, esto implica [matemáticas] 2 = x ^ q 3 ^ r [/ matemáticas] para [matemáticas] \ gcd (q, r) = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] x \ en K ^ \ veces [ /matemáticas]. La normalización a [matemáticas] \ mathbf Q [/ matemáticas] da [matemáticas] 2 ^ {\ varphi (q)} = y ^ q 3 ^ {r \ varphi (q)} [/ matemáticas] para [matemáticas] y \ en \ mathbf Q ^ \ times [/ math], que es la contradicción deseada, ya que esto contradice la factorialidad de [math] \ mathbf Z [/ math]: el poder del primo [math] 2 [/ math] en el el lado izquierdo es [math] \ varphi (q) [/ math], mientras que el poder de [math] 2 [/ math] en el lado derecho es un múltiplo de [math] q [/ math], lo cual es imposible .

Answer 3

Solo puedo ofrecer un mecanismo parcial, que (posiblemente) alimentará su prueba.

tiene derivada newtoniana (primer orden)

Y termina siendo una recurrencia

Esto aproximará una raíz (solución), que, empíricamente, está en algún lugar en el vecindario x = 2.68. No tengo una mejor contribución, actualmente, que mostrar “continuar generando esta aproximación da valores decimales no repetitivos progresivamente más largos”.