La integral dada no tiene una solución simple o elemental.
Usando Wolfram Alpha, o usando Mathematica y escribiendo el código:
FullSimplify [Integrar [Tan [x] ^ (1/6), x]]
La solución obtenida es la siguiente:
- ¿Cuál es el valor mínimo de [matemáticas] | \ sin x + \ cos x + \ tan x + \ csc x + \ sec x + \ cot x | [/ matemáticas]?
- ¿Cuál es el valor de [matemáticas] \ lim_ {x \ to \ infty} x \ cdot \ {\ arctan \ left (\ frac {x + 1} {x + 4} \ right) – \ frac {\ pi} { 4} \} [/ matemáticas]?
- Cómo encontrar una expresión de forma cerrada de [matemática] x_n [/ matemática] si [matemática] \ {x_n \} [/ matemática] es una secuencia tal que [matemática] x_1 = 2, x_2 = 1 [/ matemática] y [ matemática] 2x_n-3x_ {n-1} + x_ {n-2} = 0 [/ matemática] para [matemática] n> 2 [/ matemática]
- ¿Cuáles son los valores de [matemática] a, b, c, d [/ matemática] si [matemática] P (x) = x ^ 4 + ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d [/ matemática] y las sumas de los pares de raíces de [matemáticas] P (x) [/ matemáticas] son [matemáticas] 1,2,5,6,9,10 [/ matemáticas]?
- Cómo aislar x en 2 (x ^ 2-x) = y ^ 2-y
[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align} & \ int \ sqrt [6] {\ tan (x)} \, dx \\ & = \ frac {1} {4 \ sqrt {2}} * (2 \ left (\ sqrt {3} +1 \ right) \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {-2 \ sqrt {2} \ sqrt [6] {\ tan (x)} + \ sqrt {3} + 1} {1- \ sqrt {3}} \ right) \\ & +4 \ tan ^ {- 1} \ left (1- \ sqrt {2} \ sqrt [6] {\ tan (x)} \ right ) -4 \ tan ^ {- 1} \ left (\ sqrt {2} \ sqrt [6] {\ tan (x)} + 1 \ right) \\ & +2 \ left (\ sqrt {3} -1 \ right) \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {2 \ sqrt {2} \ sqrt [6] {\ tan (x)} – \ sqrt {3} +1} {\ sqrt {3} + 1} \ right) \\ & +2 \ left (\ sqrt {3} -1 \ right) \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {2 \ sqrt {2} \ sqrt [6] {\ tan (x)} + \ sqrt {3} -1} {\ sqrt {3} +1} \ right) \\ & +2 \ left (\ sqrt {3} +1 \ right) \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {2 \ sqrt {2} \ sqrt [6] {\ tan (x)} + \ sqrt {3} +1} {\ sqrt {3} -1} \ right) \\ & +2 \ ln \ left (\ sqrt [3] {\ tan (x)} + \ sqrt {2} \ sqrt [6] {\ tan (x)} + 1 \ right) \\ & -2 \ ln \ left ( \ sqrt [3] {\ tan (x)} – \ sqrt {2} \ sqrt [6] {\ tan (x)} + 1 \ right) \\ & – \ left (\ sqrt {3} +1 \ right) \ ln \ left (2 \ sqrt [3] {\ tan (x)} + \ left (\ sqrt {3} -1 \ right) \ sqrt {2} \ sqrt [6] {\ tan (x) } +2 \ right) \\ & + \ left (\ sqrt {3} +1 \ right) \ ln \ left (2 \ sqrt [3] {\ tan (x)} + \ left (\ sqrt {2} – \ sqrt {6} \ right) \ sqrt [6] {\ tan (x)} + 2 \ right) \\ & + \ left (\ sqrt {3} -1 \ right) \ ln \ left (2 \ sqrt [3] {\ tan (x)} – \ left (\ sqrt {2} + \ sqrt {6} \ right) \ sqrt [6] {\ tan (x)} + 2 \ right) \ \ & – \ left (\ sqrt {3} -1 \ right) \ ln \ left (2 \ sqrt [3] {\ tan (x)} + \ left (\ sqrt {2} + \ sqrt {6} \ right) \ sqrt [6] {\ tan (x)} + 2 \ right)) \\ & + constant \ end {align} [/ math]
A continuación se muestra una gráfica de la parte real (en azul) y la parte imaginaria (en naranja) de la solución (hecha con Mathematica):
Mecanografía :
FullSimplify [Integrar [Tan [x] ^ (1 / n), x]]
La solución general de la integral para un valor arbitrario de [math] n [/ math] se puede encontrar:
[matemáticas] \ displaystyle \ int \ sqrt [n] {\ tan (x)} \, dx = \ frac {n \ tan ^ \ left ({\ frac {1} {n} +1} \ right) (x ) * \, _2F_1 \ left (1, \ frac {n + 1} {2 n}; \ frac {1} {2} \ left (3+ \ frac {1} {n} \ right); – \ tan ^ 2 (x) \ right)} {n + 1} + c [/ math]
[math] \, _2F_1 (a, b; c; z) [/ math] es la función hipergeométrica.
Como ejemplo, para [matemática] n = 6 [/ matemática] la integral en términos de la función hipergeométrica sería igual a
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {6} {7} \ tan ^ {\ frac {7} {6}} (x) \, _2F_1 \ left (\ frac {7} {12}, 1; \ frac {19 } {12}; – \ tan ^ 2 (x) \ right) [/ math]