Si bien Robby tiene razón, me gustaría agregar otra forma de hacerlo (sin adivinar las funciones). Su respuesta es muy rápida mientras se extrae la mía, pero es importante conocer el método; la respuesta no siempre será tan obvia.
Mover la y hacia el LHS da
[matemáticas] y ‘cos ^ {2} x + y = tan x [/ matemáticas]. Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden (sí, es un bocado), que se puede resolver con un factor integrador en la forma [matemáticas] e ^ {\ int p (x) dx} [/ matemáticas] donde p (x) es el coeficiente de y.
Primero, la y ‘necesita un coeficiente de 1, así que divídalo entre [matemáticas] cos ^ {2} x \ text {o multiplique por} segundos ^ {2} x [/ matemáticas]
- ¿Cuál es la suma de esta serie infinita?
- ¿Es la solución [matemática] x [/ matemática] de [matemática] 2 ^ x + 3 ^ x = 25 [/ matemática] racional o irracional? ¿Se puede probar la racionalidad de x [matemáticas] x [/ matemáticas]?
- Cómo encontrar el coeficiente principal y el grado de un polinomio
- ¿Qué es el valor de registro 1?
- ¿Cómo ayuda la siguiente expresión a controlar un modelo que no se ajusta demasiado (y al mismo tiempo mantenerlo simple)?
[matemática] y ‘+ y sec ^ {2} x = \ dfrac {sin (x)} {cos ^ {3} x} [/ matemática]
El factor integrador es [matemáticas] e ^ {\ int sec ^ {2} x dx} = e ^ {tan (x)} [/ matemáticas]. Multiplica todo por este factor. El LHS parece una regla de producto. De hecho, la integral del LHS siempre será igual a y veces el factor integrador en este tipo de problema.
[matemáticas] y ‘e ^ {tan (x)} + y sec ^ {2} xe ^ {tan (x)} = tan (x) * sec ^ {2} x * e ^ {tan (x)} [ /matemáticas]. Integrando,
[matemática] ye ^ {tan (x)} = \ int tan (x) * sec ^ {2} x * e ^ {tan (x)} [/ math]. Use la sustitución [math] u = tan (x) \ text {and} du = sec ^ {2} x [/ math]
[math] ye ^ {tan (x)} = \ int ue ^ {u} du [/ math]. El RHS se puede hacer mediante la integración por partes:
[matemática] \ int ue ^ {u} = ue ^ {u} – \ int e ^ {u} = ue ^ {u} – e ^ {u} [/ math]. Vuelva a enchufar esto y reemplácelo con tan (x), dando
[matemáticas] ye ^ {tan (x)} = tan (x) e ^ {tan (x)} – e ^ {tan (x)} + C [/ matemáticas]. Dividir por el factor integrador
[matemáticas] y = tan (x) – 1 + Ce ^ {- tan (x)} [/ matemáticas]