Cómo encontrar la solución general a la ecuación [matemáticas] y ^ {‘} \ cos ^ 2x = \ tan xy [/ matemáticas]

Si bien Robby tiene razón, me gustaría agregar otra forma de hacerlo (sin adivinar las funciones). Su respuesta es muy rápida mientras se extrae la mía, pero es importante conocer el método; la respuesta no siempre será tan obvia.

Mover la y hacia el LHS da

[matemáticas] y ‘cos ^ {2} x + y = tan x [/ matemáticas]. Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden (sí, es un bocado), que se puede resolver con un factor integrador en la forma [matemáticas] e ^ {\ int p (x) dx} [/ matemáticas] donde p (x) es el coeficiente de y.

Primero, la y ‘necesita un coeficiente de 1, así que divídalo entre [matemáticas] cos ^ {2} x \ text {o multiplique por} segundos ^ {2} x [/ matemáticas]

[matemática] y ‘+ y sec ^ {2} x = \ dfrac {sin (x)} {cos ^ {3} x} [/ matemática]

El factor integrador es [matemáticas] e ^ {\ int sec ^ {2} x dx} = e ^ {tan (x)} [/ matemáticas]. Multiplica todo por este factor. El LHS parece una regla de producto. De hecho, la integral del LHS siempre será igual a y veces el factor integrador en este tipo de problema.

[matemáticas] y ‘e ^ {tan (x)} + y sec ^ {2} xe ^ {tan (x)} = tan (x) * sec ^ {2} x * e ^ {tan (x)} [ /matemáticas]. Integrando,

[matemática] ye ^ {tan (x)} = \ int tan (x) * sec ^ {2} x * e ^ {tan (x)} [/ math]. Use la sustitución [math] u = tan (x) \ text {and} du = sec ^ {2} x [/ math]

[math] ye ^ {tan (x)} = \ int ue ^ {u} du [/ math]. El RHS se puede hacer mediante la integración por partes:

[matemática] \ int ue ^ {u} = ue ^ {u} – \ int e ^ {u} = ue ^ {u} – e ^ {u} [/ math]. Vuelva a enchufar esto y reemplácelo con tan (x), dando

[matemáticas] ye ^ {tan (x)} = tan (x) e ^ {tan (x)} – e ^ {tan (x)} + C [/ matemáticas]. Dividir por el factor integrador

[matemáticas] y = tan (x) – 1 + Ce ^ {- tan (x)} [/ matemáticas]

Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden.

Forma estándar de LDE de primer orden

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} + P (x) y = Q (x) dx [/ matemáticas]… (i)

Reordenando la ecuación (i),

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} + seg ^ {2} xy = tanx \; sec ^ {2} xdx [/ matemáticas] … (iii)

Al comparar las ecuaciones (ii) y (iii) obtenemos,

[matemáticas] P (x) = sec ^ {2} y Q (x) = tanx \; sec ^ {2} x [/ matemáticas]

Factor de integración (IF) = [matemática] e ^ {\ int {Q (x) dx}} = [/ matemática] [matemática] e ^ {\ int {sec ^ {2} xdx}} = e ^ {tanx} [/matemáticas]

Solución de LDE:

[matemáticas] y \ veces {SI} = \ int {Q (x) \ veces {SI}} dx [/ matemáticas]

= [matemáticas] y \ veces {e ^ {tanx}} = \ int {tanx \; sec ^ {2}} x \ times {e ^ {tanx}} dx [/ math]

Aplicar integración por sustitución,

[matemáticas] Let \; \; tanx = t \ implica sec ^ {2} xdx = dt [/ math]

= [matemáticas] y \ veces {e ^ {tanx}} = \ int {te ^ {t} dt}… (iv) [/ matemáticas]

Aplicar integración por partes,

[matemáticas] \ int {udv} = uv – \ int {vdu} .. (v) [/ matemáticas]

Al usar la regla ILATE,

[matemáticas] u = t \; \; y \; \; dv = e ^ {t} dt [/ math]

Entonces [matemáticas], du = dt \; \; y \; \; \; v = e ^ {t} [/ matemáticas]

Ponga estos valores en la ecuación (v),

[matemáticas] \ int {te ^ {t} dt} = te ^ {t} – \ int {e ^ {t} dt} = te ^ {t} – \ int {e ^ {t} dt} [/ math ]

[matemáticas] \ int {te ^ {t} dt} = te ^ {t} – e ^ {t} + C = e ^ {t} (t-1) + C… (vi) [/ matemáticas]

Ponga el valor de la ecuación (vi) en la ecuación (iv)

= [matemáticas] y \ veces {e ^ {tanx}} = e ^ {t} (t-1) + C [/ matemáticas]

Pon el valor de t

= [matemáticas] y \ veces {e ^ {tanx}} = e ^ {tanx} (tanx-1) + C [/ matemáticas]

= [matemáticas] y = (tanx-1) + C {e ^ {- tanx}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} \ cos ^ 2 (x) = \ tan (x) – y [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {\ tan (x)} {\ cos ^ 2 (x)} – \ frac {y} {\ cos ^ 2 (x)} [/ math]

Podemos escribir [matemáticas] \ frac {y} {\ cos ^ 2 (x)} [/ matemáticas] como [matemáticas] y [/ matemáticas] [matemáticas] \ seg ^ 2 (x) [/ matemáticas] y [matemáticas ] \ frac {\ tan (x)} {\ cos ^ 2 (x)} [/ math] como [math] \ tan (x) \ sec ^ 2 (x) [/ math]

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {\ tan (x)} {\ cos ^ 2 (x)} – y \ sec ^ 2 (x) [/ matemáticas]

Reorganizando de nuevo,

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} + y \ sec ^ 2 (x) = \ frac {\ tan (x)} {\ cos ^ 2 (x)} [/ matemáticas]

Que es una ecuación lineal de la forma, [matemática] \ frac {dy} {dx} + P (x) y = Q (x) [/ matemática]

La solución puede ser [matemática] y [/ matemática] [matemática] e ^ {\ int P (x) dx} = \ int Q (x) e ^ {\ int P (x) dx} dx [/ matemática]

Aquí, [matemáticas] P (x) = y \ sec ^ 2 (x), Q (x) = \ tan (x) \ sec ^ 2 (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {\ int P (x) dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {\ int \ sec ^ 2 (x) dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {\ tan (x)} [/ matemáticas]

Nuestra solución es

[math] ye ^ {\ tan (x)} = \ int \ tan (x) \ sec ^ 2 (x) e ^ {\ tan (x)} dx [/ math]

Sabemos que [matemáticas] \ int e ^ x dx = e ^ x + C [/ matemáticas]

Entonces, el integrando se convierte en,

[matemáticas] e ^ {\ tan (x)} (\ tan (x) – 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] ye ^ {\ tan (x)} = e ^ {\ tan (x)} (\ tan (x) – 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ tan (x) – 1 [/ matemáticas]

(Pregunta editada, gracias Obeidah Jones)

Gracias por el A2A

La ecuación dada se puede escribir como
Y ‘+ Ysec ^ 2x = tanxsec ^ 2x
Lineal diff.equatiin con IF = e ^ (∫sec ^ xdx) = e ^ tanx
Por lo tanto, la solución general es
Ye ^ tanx = ∫tanxsec ^ 2xe ^ tanxdx + c
= (tanx-1) e ^ tanx + c
Y = tanx-1 + ce ^ (- tanx)

Ver tanto [math] \ tan (x) [/ math] como [math] \ cos ^ 2 (x) [/ math] nos recuerda de inmediato que [math] \ tan ‘(x) = \ frac {1} { \ cos ^ 2 (x)} [/ math].

Entonces, veamos qué sucede si [math] y (x) = \ tan (x) [/ math].

En el lado izquierdo obtenemos 1. En el lado derecho obtenemos 0. No es exactamente lo que estamos buscando. Sin embargo, observe que en el lado izquierdo solo tenemos la derivada de [math] y [/ math] mientras que en el lado derecho tenemos [math] y [/ math]. Entonces, si agregamos una constante a [math] y [/ math], solo influirá en el lado derecho, mientras que el lado izquierdo no cambiará. Entonces, si necesitamos agregar 1 al lado derecho, eso significa que podemos establecer [math] y = \ tan (x) – 1 [/ math].

Nuevamente, este es un DE lineal de la forma y ‘+ Py = Q donde P y Q son funciones de x. La solución en detalle se explica de la siguiente manera: