Entonces tenemos la ecuación
[matemáticas] y ” = \ frac {h} {y ^ 2} [/ matemáticas]
Lo primero que debe notar es que hay una potencia de y y una segunda derivada, y eso es básicamente todo lo que hay. Esto indica una solución de la forma [math] y = cx ^ n [/ math], conectando esto da:
[matemáticas] c (n-1) nx ^ {n-2} – \ frac {hx ^ {- 2 n}} {c ^ 2} = 0 [/ matemáticas]
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Esto solo puede ser cero (para cada x), si los exponentes coinciden, esto da:
[matemáticas] n = \ frac {2} {3} [/ matemáticas]
La ecuación luego se reduce a
[matemáticas] – \ frac {2 c ^ 3 + 9 h} {9 c ^ 2 x ^ {4/3}} = 0 [/ matemáticas]
Lo cual se resuelve con la ecuación [matemáticas] 2 c ^ 3 + 9 h = 0. [/ Matemáticas]
Ahora, esta es la única solución, mientras que esta es una ecuación diferencial de segundo orden, por lo que esperaría dos. También debe tener en cuenta que esta ecuación no tiene una constante indefinida (que usaría para ajustar la solución a las condiciones iniciales). Entonces, si bien es una solución real, no es la que realmente desea.
Conectar esto a Mathematica me dio esto:
DSolve [y ” [x] = hy [x] ^ (- 2)]
La solución está dada por:
[matemáticas] \ left (\ frac {y (x) \ sqrt {c_1- \ frac {2 h} {y (x)}}} {c_1} + \ frac {h \ log \ left (\ sqrt {c_1} y (x) \ sqrt {c_1- \ frac {2 h} {y (x)}} + c_1 y (x) -h \ right)} {c_1 ^ {3/2}} \ right) {} ^ 2 = \ left (c_2 + x \ right) {} ^ 2 [/ math]
Como puede ver, esta es la solución adecuada, le quedan 2 constantes para completar (2 porque esta es una ecuación diferencial de segundo orden), pero esta expresión debe resolverse para y (x), lo cual es imposible en términos de funciones normales
Como conclusión, es posible encontrar una función que obedezca a esta ecuación diferencial, sin embargo, resolver esta ecuación diferencial (junto con posibles condiciones de contorno) no es algo que se pueda hacer con funciones generales (aunque será posible para algunos valores iniciales particulares) )