¿Por qué puede el axioma “Se puede dibujar un segmento de línea recta uniendo dos puntos”. no ser probado?

Answer 1

En matemáticas, incluso las cosas que nos parecen obvias tienen que ser rigurosamente probadas o declaradas como un axioma. A los matemáticos les gusta afirmar que sus sistemas se definen en lógica pura, con el menor número posible de axiomas, y que cada uno de esos axiomas se establecerá explícitamente. Se supone que las definiciones son inequívocas y claras. En verdad, ese es un estándar casi imposible, pero la moraleja es que no puedes probar que algo es verdad al observarlo. Tienes que construirlo a partir de un axioma anterior. Si no puede hacer eso, debe convertirlo en un axioma.

En este caso, Euclides define un segmento de línea como “una longitud sin ancho”. ¿Alguna vez has visto una línea infinitamente delgada y perfectamente recta? ¿Cómo probarías que existe tal cosa, mucho menos si fuera posible crear una de manera confiable? ¿Cuál es el método definido con precisión para construir tal objeto?

Answer 2

Un axioma es, desde su definición original, algo que es obvio y que no necesita prueba. En la definición matemática lógica moderna, un axioma es más como una suposición preliminar a partir de la cual se comienza a construir un conjunto de propiedades (o sistema). Esto significa que puede desde diferentes axiomas, construir diferentes sistemas.

Un ejemplo típico es la geometría hiperbólica en la que ellos (Lobatchevski, Riemann, Poincaré, …) cambiaron el axioma del quinto Euclides (el que está sobre el paralelo) y salieron con la geometría no euclidiana (en la cual las líneas paralelas se intersecan a una distancia finita). ; el teorema de Pitágoras se convierte en un mero recuerdo, …)

En principio, si el conjunto de propiedades obtenidas de sus axiomas es consistente, puede deducir de las propiedades que los axiomas deben ser verdaderos, es decir, nunca obtendrá conclusiones contradictorias si su sistema es consistente.

Para abreviar, … realmente no hay necesidad de probar un axioma a menos que su sistema sea inconsistente y la inconsistencia sea una prueba de que uno de sus axiomas está “jodiendo”.

Answer 3

Su definición de un axioma es algo incorrecta. Una declaración axiomática es una que es evidentemente obvia. Por ejemplo, la ley de identidad no puede ser violada por definición. Debido a que una línea se define como una ruta entre dos puntos, entonces es axiomáticamente verdadera. Según el teorema de incompletitud de Gödel, cualquier teoría tenía reglas fundamentales que no se pueden probar, ya que para probarlas se requieren reglas más fundamentales.

En resumen, el enunciado es axiomático porque cualquier intento de probarlo da como resultado un argumento circular.

Answer 4

Una prueba puede usar axiomas y teoremas probados previamente. Tienes que comenzar en alguna parte, y comienzas con los axiomas de la teoría.

Este axioma es necesario para la geometría euclidiana porque sin él, un modelo para el resto de los axiomas no podría tener líneas rectas. Es el único axioma que dice que existen líneas.

Euclides se perdió algunos axiomas. Por ejemplo, no hay axioma que diga que hay puntos en absoluto. Para la geometría plana, necesitará un axioma que indique que hay al menos 3 puntos no colineales, y para la geometría sólida, necesitará un axioma que indique que hay al menos 4 puntos no coplanadores.

Answer 5

No es cierto en general.

Imagina que tu espacio es un toro (rosquilla). Elija dos puntos en lados opuestos del agujero de la dona el uno del otro. Es imposible conectar los puntos usando una línea recta en su espacio (una línea recta tendría que pasar por el agujero de la rosquilla, y eso implica salir del espacio).

Necesitas saber más cosas sobre el espacio para probar el axioma.

Alternativamente, puede suponer que es cierto, como lo hace Euclides, y luego obtener información sobre su espacio (por ejemplo, no es un toro).