Podemos asignar coordenadas cartesianas a cada uno de los vértices, suponiendo que el radio del hemisferio es [math] r \ in \ mathbb {R} ^ + [/ math]. Específicamente, el hemisferio está representado por [matemáticas] \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ 3 | x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = r ^ 2, z \ geq 0 \ }[/matemáticas]. Entonces sabemos los puntos [matemática] O = (0,0,0) [/ matemática], [matemática] A = (r, 0,0) [/ matemática] y [matemática] U = (0,0, r) [/ matemáticas]. Luego elegimos un punto [matemática] B = (B_x, B_y, B_z) [/ matemática] en cualquier lugar de la superficie del hemisferio; nos dan [math] \ angle UOB [/ math] y [math] \ angle AOB [/ math]. Deseamos determinar [matemática] \ ángulo AOC [/ matemática], donde el punto [matemática] C = (C_x, C_y, 0) [/ matemática] es donde el meridiano a través de [matemática] U [/ matemática] y [matemática] B [/ math] se cruza con el ecuador. Sin pérdida de generalidad, podemos dejar que [math] B_y \ geq 0 [/ math].
Primero, podemos obtener [math] B_z [/ math] soltando una perpendicular de [math] B [/ math] en [math] \ overline {OC} [/ math], llamando al punto de intersección [math] D [/ / matemáticas]. Tenga en cuenta que [matemáticas] \ sin {(\ frac {\ pi} {2} – \ angle UOB)} = \ frac {\ overline {BD}} {\ overline {OB}} = \ frac {B_z} {r} \ Rightarrow B_z = r \ sin {(\ frac {\ pi} {2} – \ angle UOB)} = r \ cos {(\ angle UOB)} [/ math].
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Luego, podemos obtener [math] B_x [/ math] colocando una perpendicular de [math] B [/ math] en [math] \ overline {OA} [/ math] (extendiendo [math] \ overline {OA} [ / math] si es necesario), llamando al punto de intersección [math] E [/ math]. Tenga en cuenta que [matemáticas] \ cos {(\ angle AOB)} = \ frac {\ overline {OE}} {\ overline {OB}} = \ frac {B_x} {r} \ Rightarrow B_x = r \ cos {(\ ángulo AOB)} [/ matemáticas]. Entonces, dado que [matemáticas] B_x ^ 2 + B_y ^ 2 + B_z ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas], obtenemos que [matemáticas] B_y = \ sqrt {r ^ 2 – B_x ^ 2 – B_z ^ 2} = \ sqrt {r ^ 2 – r ^ 2 \ cos ^ 2 {(\ angle AOB)} – r ^ 2 \ cos ^ 2 {(\ angle UOB)}} = r \ sqrt {1 – \ cos ^ 2 {( \ angle AOB)} – \ cos ^ 2 {(\ angle UOB)}} [/ math].
Ahora, suelte una perpendicular de [matemáticas] C [/ matemáticas] en [matemáticas] \ overline {OA} [/ matemáticas] (extendiendo [matemáticas] \ overline {OA} [/ matemáticas] si es necesario), llamando al punto de intersección [ matemáticas] F [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que [math] D_x = B_x [/ math] y [math] D_y = B_y [/ math]. Además, tenga en cuenta que los triángulos rectángulos [matemática] \ triangular OFC [/ matemática] y [matemática] \ triangular OED [/ matemática] son similares por AAA, entonces [matemática] \ frac {C_x} {D_x} = \ frac {C_y} {D_y} \ Rightarrow \ frac {C_x} {B_x} = \ frac {C_y} {B_y} [/ math]. Como también sabemos que [matemáticas] C_x ^ 2 + C_y ^ 2 + C_z ^ 2 = C_x ^ 2 + C_y ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas], podemos obtener lo siguiente: [matemáticas] C_x = \ frac { rB_x} {\ sqrt {B_x ^ 2 + B_y ^ 2}} = \ frac {r ^ 2 \ cos {(\ angle AOB)}} {r \ sqrt {1 – \ cos ^ 2 {(\ angle UOB)} }} = \ frac {r \ cos {(\ angle AOB)}} {\ sin {(\ angle UOB)}} [/ math] y [math] C_y = \ frac {rB_y} {\ sqrt {B_x ^ 2 + B_y ^ 2}} = \ frac {r ^ 2 \ sqrt {1 – \ cos ^ 2 {(\ angle AOB)} – \ cos ^ 2 {(\ angle UOB)}}} {r \ sqrt {1 – \ cos ^ 2 {(\ angle UOB)}}} = \ frac {r \ sqrt {1 – \ cos ^ 2 {(\ angle AOB)} – \ cos ^ 2 {(\ angle UOB)}}} {\ sin {(\ angle UOB)}} [/ math].
Ahora que tenemos todas las coordenadas, podemos obtener la longitud de [matemática] \ overline {AC} = [/ matemática] [matemática] \ sqrt {(A_x – C_x) ^ 2 + (A_y – C_y) ^ 2} = \ sqrt {[r – \ frac {r \ cos {(\ angle AOB)}} {\ sin {(\ angle UOB)}}] ^ 2 + \ frac {r ^ 2 [1 – \ cos ^ 2 {( \ angle AOB)} – \ cos ^ 2 {(\ angle UOB)}]} {\ sin ^ 2 {(\ angle UOB)}}} [/ math]. Estoy omitiendo los detalles, pero, simplificando esta expresión, obtenemos [matemáticas] \ overline {AC} = r \ sqrt {2 [1 – \ frac {\ cos {(\ angle AOB)}} {\ sin {(\ ángulo UOB)}}]} [/ math]. Finalmente, usando la Ley de cosenos, obtenemos que [matemáticas] \ angle AOC = \ arccos {[\ frac {{\ overline {OA}} ^ 2 + {\ overline {OC}} ^ 2 – {\ overline {AC }} ^ 2} {2 (\ overline {OA}) (\ overline {OC})}]} = \ arccos {\ {\ frac {2r ^ 2 – 2r ^ 2 [1- \ frac {\ cos {( \ angle AOB)}} {\ sin {(\ angle UOB)}}]} {2r ^ 2} \}} = \ boxed {\ arccos {[\ frac {\ cos {(\ angle AOB)}} {\ sin {(\ angle UOB)}}]}} [/ math].