¿Por qué solo se pueden dibujar dos tangentes en un círculo desde un punto externo? ¿Es un axioma?

Answer 1

Deje que la ecuación del círculo sea [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 [/ matemática]
Centro C (0,0) y radio = a
Sea P (h, k) un punto eterno del círculo, es decir, [matemáticas] h ^ 2 + k ^ 2> a ^ 2 [/ matemáticas]
La ecuación de cualquier línea de P es
[matemáticas] (yk) = m (xh) [/ matemáticas]
[matemática] y-mx + mh-k = 0 [/ matemática]
Esta línea será tangente a un círculo dado si la longitud de la perpendicular de C a esta línea es igual al radio del círculo.
Así [matemáticas] (mh-k) / √ (1 + m ^ 2) = a [/ matemáticas]
=> (m ^ 2h ^ 2-2mhk + k ^ 2) = a ^ 2 (1 + m ^ 2)
=> (h ^ 2-a ^ 2) m ^ 2-2hkm + (k ^ 2-a ^ 2) = 0. (2)
Esta es una ecuación cuadrática en m.
Desde 4h ^ 2k ^ 2-4 (h ^ 2-a ^ 2) (k ^ 2-a ^ 2)
= 4 (h ^ 2 + k ^ 2-a ^ 2) a ^ 2> 0, por lo tanto, la ecuación (2) tiene dos valores reales de m. Por lo tanto, solo dos tangentes se pueden dibujar en un círculo desde un punto externo.

Answer 2

Los axiomas son principios fundamentales que no requieren pruebas. Por ejemplo, un punto es un axioma, es un círculo con radio igual a cero. Uno nunca puede ver tal punto en la realidad. Sin embargo, aceptamos la noción de punto en cualquier momento. Así, un punto se convierte en un axioma.

La afirmación que dijo es un teorema que requiere prueba. Por lo tanto, es un axioma con una prueba. Es un teorema con pruebas tanto en geometría analítica como práctica.