Cómo encontrar áreas bajo funciones no integrables

Answer 1

Hay diferentes definiciones para integrales. Dos son integrales de Riemann e integrales de Lebesgue. El primero es más fácil de entender; El segundo más completo.

La mayoría de las funciones que encontramos son integrables de Riemann. Por ejemplo, todas las funciones continuas son integrables de Riemann, al igual que todas las funciones crecientes y decrecientes. Una función que no es integrable de Riemann es la función característica [math] \ chi _ {\ mathbf Q} [/ math] de los números racionales. (Su valor en un número racional es 1, pero su valor en un número irracional es 0.) Aunque [math] \ chi _ {\ mathbf Q} [/ math] no es integrable de Riemann, es integrable de Lebesgue, y su integral es [matemática] 0 [/ matemática].

Aunque casi todas las funciones con las que te encuentras son integrables de Riemann, es posible que no se puedan expresar como funciones elementales. Por ejemplo, [math] \ int \ sin (x ^ 2) \, dx [/ math] es integrable de Riemann, pero su antiderivada no es elemental. En tales casos, si se trata de una integral útil, se le asigna una función, en este caso la función integral Fresnel S. Puede estudiar dichas funciones no elementales mediante métodos numéricos, series de potencia y otras herramientas analíticas.

Answer 2

Esto es lo que creo que quieres decir.

Inicialmente, cuando hablamos de integración, nos referimos a la integral de Riemann y la usamos y sus propiedades para calcular áreas. Como saben, esta integral equivale esencialmente a evaluar los límites de áreas de números finitos de cortes verticales . Sin embargo, hay funciones que no son integrables con Riemann. La siguiente integral más comúnmente aplicada es alguna forma de integración de Lebesgue que, en cierto sentido, involucra cortes horizontales bajo la función. No todas las funciones son integrables con esta integración tampoco, pero juntas las dos formas son las más utilizadas.

Answer 3

Saber de antemano que una función no sería integrable es crucial aquí. Una vez que se establezca la no integrabilidad mediante pruebas rigurosas, no tendremos más remedio que aceptar eso.

Sin embargo, a veces, podemos observar esa función especial no integrable y concluir que la no integrabilidad es curable. Una función puede definirse para comportarse inesperadamente raro. Podríamos estar mirando las funciones definidas en los puntos racionales y cero de un intervalo acotado en cualquier otro lugar. La integral de Lebegue sería cero, entonces, mientras que la integral de Riemann no podría converger.

Otro ejemplo sería lo que llamaría el caso (ln x) ‘= 1 / x. Aquí tenemos que mantenernos alejados de Zero cuando se calculan integrales, creo. Las áreas tienen que estar delimitadas para que la integración pueda acceder a ellas.