Si trisecta los lados de un triángulo equilátero de área 1 y corta las esquinas, ¿cuál es el área de la forma resultante?

Answer 1

Si cortamos las esquinas trisectadas de un triángulo equilátero de área [matemática] 1 [/ matemática], obtenemos un hexágono regular de área [matemática] \ tfrac23 [/ matemática]. Pero si continuamos más allá de este paso, el polígono deja de ser regular. En el límite, se acerca a esta extraña forma roja no circular:

Para calcular su área, necesitamos calcular cuánto hemos recortado en cada esquina. El área [matemática] g [/ matemática] de la región verde es igual al área de las dos regiones azules más el área del triángulo púrpura. Debido a que el proceso de trisección repetido es invariante bajo la transformación afín, cada región azul viene dada por una transformación afín de la región verde. Podemos ver que esta transformación afín reduce las áreas por un factor de [math] \ tfrac19 [/ math], y que el triángulo púrpura tiene área [math] \ tfrac19 [/ math]. Por lo tanto,

[matemáticas] \ displaystyle g = 2 \ cdot \ frac19 g + \ frac19 [/ math],

entonces [math] g = \ tfrac17 [/ math], y la región roja sobrante tiene área [math] 1 – 3g = \ mathbf {\ tfrac47} [/ math].

Answer 2

Parece que estás haciendo un hexágono regular.

Si dibuja un hexágono regular dentro de un triángulo equilátero, habrá 3 piezas de esquina triangulares. También podemos dividir el hexágono en 6 triángulos del mismo tamaño, por lo tanto, el triángulo original está compuesto por 9 triángulos más pequeños, cada uno con un área de 1/9. El hexágono tendrá área 6/9 = 2/3.

Si repetimos el proceso, tendrá una forma de 12 lados. Hacerlo nuevamente hará una forma de 24 lados. Cada paso duplicará el número de lados, y repetir hasta el infinito creará un círculo. Para obtener el radio del círculo, observe que el punto medio de cada borde nunca se elimina, por lo tanto, el círculo será el círculo inscrito.

Podemos usar varias fórmulas para triángulos equiláteros para obtener el área, si a es la longitud del lado y A es el área del triángulo, entonces

[matemáticas] A = \ frac {\ sqrt3} 4 a ^ 2 [/ matemáticas]

así que aquí

[matemáticas] a ^ 2 = \ frac4 {\ sqrt3}. [/ matemáticas]

El radio del incircle, r, es

[matemáticas] r = \ frac {\ sqrt {3}} 6 a [/ matemáticas]

y el área del círculo es

[matemáticas] \ begin {align}
\ pi r ^ 2 & = \ pi \ frac {3} {36} a ^ 2 \\
& = \ pi \ frac1 {12} \ frac4 {\ sqrt3} \\
& = \ frac {\ pi} {3 \ sqrt3}.
\ end {align} [/ math]

Answer 3

Si trisecta los lados de un triángulo equilátero del área 1 y corta las esquinas, ¿cuál es el área de la forma resultante?

¡El área de la forma resultante será demasiado pequeña para visualizar si se ha cortado en absoluto!

Para que se visualice mejor, utilizo un triángulo equilátero con un lado de 6 cm.

El área del triángulo equilátero es, por lo tanto, [(6 ^ 2) / 2] * sen 60 = 15.58845727 cm2.

Al cortar los tres pequeños triángulos equiláteros del lado 2 cm, estamos cortando [3 * (2 ^ 2) / 2] * sen 60 = 5.196152423 cm2. Esta área es (1/3) rd del triángulo original.

Entonces, el triángulo original se reduce a (2/3) rd de su área cortando las porciones de un tercio de los lados del triángulo.

Answer 4

Paso 1: divide el triángulo en 9 partes iguales:

Paso 2: date cuenta de que necesitamos cortar las tres piezas externas, por lo que nos quedan seis

Conclusión: el área es 6/9 = 2/3