Cómo demostrar que el área entre el gráfico [matemáticas] y = \ frac {1} {x ^ 2 + 1} [/ matemáticas] y el eje [matemáticas] x [/ matemáticas] es [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] geométricamente sin usar integración

Answer 1

Suponga que ve un objeto delante del tren y lo sigue más de 180 ° hasta que esté muy por detrás de usted.

Entonces la velocidad de rotación de tu cabeza se puede escribir como una ‘parábola recíproca’:

[matemáticas] y = \ frac {1} {x ^ 2 + 1} [/ matemáticas]

pico en [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]

Explicación

Suponga que a partir de su referencia [matemática] (G) [/ matemática] el objeto [matemático] (O) [/ matemático] se mueve con una unidad de velocidad constante sobre [matemático] x \ text {-axis} [/ matemático], y pasa a la unidad de distancia. Llame al ángulo [math] \ alpha [/ math].

1. Entonces la velocidad angular [matemática] y [/ matemática] es inversamente proporcional a la distancia [matemática] \ sqrt {x ^ 2 + 1 ^ 2} [/ matemática] a ese objeto:
   [matemática] y \ propto \ frac {1} {\ text {distancia}} = \ frac {1} {\ sqrt {x ^ 2 + 1 ^ 2}} [/ matemática]. Su cabeza se movería dos veces más lenta si el objeto hubiera pasado a una distancia doble.
2. Además, [matemática] y [/ matemática] es proporcional a la componente tangencial de la velocidad de los objetos y, por lo tanto, proporcional al coseno del ángulo de visión:
   [matemáticas] y \ propto \ cos (\ alpha) = \ frac {1} {\ sqrt {x ^ 2 + 1 ^ 2}} [/ matemáticas]. Esto se debe a que el componente radial no hace girar su cabeza.

Probablemente hayas notado que las dos fórmulas son iguales, lo que facilita la multiplicación:

[matemáticas] \ displaystyle y = \ frac {1} {\ sqrt {x ^ 2 + 1 ^ 2}} \ times \ frac {1} {\ sqrt {x ^ 2 + 1 ^ 2}} = \ frac {1 } {x ^ 2 + 1} [/ matemáticas]

Para lo cual ya acordamos que el área total bajo esta curva era 180 ° = [matemática] \ pi [/ matemática]

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Gracias a Gilles Castel por su sugerencia y la segunda figura.