¿Es justo decir que el álgebra es una rama más útil de las matemáticas en comparación con la geometría dado que la geometría puede a lo sumo llegar a 3 dimensiones, mientras que no hay límite para el número de variables en una ecuación algebraica?

Answer 1

Aunque la geometría se puede modelar en el espacio tridimensional y, de hecho, se inspiró originalmente en nuestros intentos de modelar la realidad, eso no es lo que es la geometría.

Todas las matemáticas, incluidas las áreas bien conocidas de geometría, aritmética y álgebra, son formalmente solo manipulación de símbolos utilizando reglas de inferencia (una lógica) a partir de algunas declaraciones formales fundamentales (axiomas). Los puntos y las líneas se definen no por referencia a cosas físicas, sino por las propiedades que les otorgan los axiomas en los que aparecen. Este enfoque tiene una historia venerable incluso en Geometría que se remonta a los Elementos de Euclides (donde pensamos que estábamos modelando la realidad pero, en retrospectiva, puede verse como un enfoque axiomático notablemente bueno).

A modo de ilustración de cómo este enfoque formal de las Matemáticas puede atornillar su intuición, tenga en cuenta que el tema de la Geometría proyectiva tiene una base axiomática en la que los puntos y las líneas son duales. Es decir, la teoría es idéntica si cambiamos una “línea” por un “punto” y viceversa en todas partes donde ocurran. Entonces, ¿qué es exactamente una “línea” o un “punto” en esa situación? Bueno, es lo que digan los axiomas que es … La geometría proyectiva, por cierto, es una rama muy útil de las matemáticas a pesar de, y en parte debido a, esta característica.

Dicho esto, toda la Geometría se puede modelar naturalmente dentro de lo que llamaríamos Álgebra, pero lo contrario no es realmente cierto (excepto que es un sentido perverso de Turing completo). En ese sentido, el álgebra es más general, pero no necesariamente más útil que la geometría. Sin embargo, la geometría ciertamente no está limitada por la dimensionalidad del mundo real o incluso la aparente naturaleza euclidiana del mundo que nos rodea.

Answer 2

Las versiones avanzadas de geometría en realidad parecen álgebra, usan símbolos algebraicos en lugar de imágenes. Supongo que su comparación es entre la formulación de una teoría matemática en términos de imágenes y la formulación en términos de símbolos.

En geometría elemental, los conceptos se definen visualizando; en álgebra, se definen usando símbolos. Por ejemplo, ángulo es un concepto definido usando una imagen en geometría y usando símbolos en álgebra (un producto de puntos). Es cierto que el uso de símbolos abstractos es más versátil que el uso de imágenes.

Por esta razón, las versiones más avanzadas de geometría, en más de 3 dimensiones, se formulan utilizando símbolos, como el álgebra. Sin embargo, esto necesita una estructura básica: un conjunto de axiomas. Estos axiomas provienen de nuestra comprensión y visualización de geometría de menos de 3 dimensiones.

Answer 3

Realmente no.

La geometría se puede hacer en dimensiones más altas y no se limita simplemente a lo que la gente puede dibujar.

La geometría riemanniana es un gran ejemplo donde se consideran rutinariamente dimensiones superiores. La relatividad general (la teoría física que utiliza la curvatura del espacio-tiempo para modelar la gravedad) se formula en una variedad pseudoriemanniana de 4 dimensiones.

Answer 4

Otros han señalado que su suposición es incorrecta: la geometría se puede realizar en cualquier cantidad de dimensiones.

Pero me pregunto si incluso es posible clasificar las ramas de las matemáticas en términos de utilidad. ¿Útil para quién y para qué?

Answer 5

He pasado mucho tiempo estudiando geometría en más de tres dimensiones. No puedes hacer dibujos, pero puedes tener una idea bastante buena de lo que está sucediendo de todos modos (o al menos la mayor parte del tiempo). Entonces no, no estaría de acuerdo con su reclamo.