Una elipse no es una fórmula, es un conjunto de puntos que satisfacen una determinada propiedad. Aquí está la propiedad. Dados dos puntos distintos en un plano, [math] f_1, \ \ text {&} \ f_2 [/ math], una elipse es el conjunto de todos los puntos, [math] x [/ math], de modo que [math] d (x, f_1) + d (x, f_2) [/ math] es constante (con [math] d (a, b) [/ math] representando la distancia euclidiana entre dos puntos, [math] a [/ math] , y [math] b [/ math]. Los puntos [math] f_1, \ f_2 [/ math] se denominan focos ( plural de foco ).
En el plano cartesiano habitual usando coordenadas [matemáticas] xy [/ matemáticas], una elipse cuyo centro está en el origen y cuyos ejes mayor y menor coinciden con el eje xy el eje y, es el conjunto de todos los puntos [matemática] (x, y) [/ math] tal que [math] \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 [/ math]. El conjunto de puntos que satisface una “fórmula” más general para una elipse en este plano (con algún centro diferente y posiblemente una rotación):
[matemáticas] A (xh) ^ 2 + B (xh) (yk) + C (yk) ^ 2 = 1 [/ matemáticas]
No es una cosa completamente simple demostrar que estos conjuntos son elipses. La forma de hacerlo es primero averiguar dónde se encuentran los dos focos. Luego demuestre que la suma de las distancias desde cualquier punto que satisfaga la “fórmula” a los focos es constante. Hay bastante álgebra involucrada. No es tan malo para la elipse estándar (dada por la primera “fórmula”) pero es un poco peor para la otra.
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