Si PP ‘y QQ’ son tangentes comunes y O y O ‘son centros de círculo y AB es un acorde común, ¿cómo demuestra que RA = SB?

Answer 1

En la figura anterior

Por TEOREMA DE SEGURO TANGENTE, (que establece que el cuadrado de la tangente desde cualquier punto exterior a un círculo = el producto de los segmentos de la línea secante dibujada desde el mismo punto al círculo)

Podemos decir RP² = RA * RB ………. (1)

Del mismo modo, SQ² = SB * SA ……… .. (2)

Pero, RP² = SQ² (que se puede probar de la siguiente manera, si A es un punto exterior, del cual se extraen las tangentes APR y AQS. AR = AS, AP = AQ Entonces, AR-AP = AS – AQ. => PR = QS, => PR² = QS²)

Por lo tanto, RA * RB = SB * SA (de (1) y (2)

=> RA * RB – SB * SA = 0

=> RA * (RA + AB) – SB (SB + AB) = 0

=> RA² + RA * AB – SB² —B * AB = 0

= RA² – SB² + RA * AB – SB * AB = 0

=> (RA + SB) (RA-SB) + AB (RA -SB) = 0

=> (RA – SB) (RA + SB + AB) = 0

Aquí se descarta RA + SB + AB = 0

= RA – SB = 0

= RA = SB

[HENCE PROPORCIONADO]

Answer 2

Es bastante trivial probar [matemáticas] PR = P ^ 1R [/ matemáticas] porque [matemáticas] PR ^ 2 = P ^ 1R ^ 2 = RA.RB [/ matemáticas]

Del mismo modo [matemáticas] QS = Q ^ 1S [/ matemáticas]

Sea [matemático] PR = P ^ 1R = a [/ matemático] y [matemático] QS = Q ^ 1S = b [/ matemático], el radio del círculo más pequeño sea [matemático] R [/ matemático], el radio del círculo más grande sea [matemática] R ^ 1 [/ matemática], [matemática] RA = x [/ matemática], [matemática] SB = y [/ matemática], [matemática] OZ = c [/ matemática], [matemática] O ^ 1Z = d [/ matemáticas] y [matemáticas] AZ = BZ = l [/ matemáticas] (trivial para mostrar que son iguales a través de triángulos similares)

Deje caer una perpendicular de [matemática] O [/ matemática] a [matemática] O ^ 1Q ^ 1 [/ matemática] en [matemática] N [/ matemática]

Deje caer otra perpendicular de [matemáticas] O [/ matemáticas] a [matemáticas] O ^ 1P ^ 1 [/ matemáticas] en [matemáticas] M [/ matemáticas]

Considere el triángulo rectángulo [matemáticas] OMO ^ 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] (c + d) ^ 2 = (2a) ^ 2 + (R ^ 1-R) ^ 2 [/ matemáticas] Eq. (1)

De manera similar para otro triángulo rectángulo [matemático] ONO ^ 1 [/ matemático]

[matemáticas] (c + d) ^ 2 = (2b) ^ 2 + (R ^ 1-R) ^ 2 [/ matemáticas] Eq. (2)

De las ecuaciones. (1) y (2),

[matemáticas] a = b [/ matemáticas] Ec. (3)

Una ruta alternativa a través de triángulos similares:

Los triángulos [matemática] OMO ^ 1 [/ matemática] y [matemática] ONO ^ 1 [/ matemática] son ​​similares porque los ángulos [matemática] OMO ^ 1 [/ matemática] y [matemática] ONO ^ 1 [/ matemática] son ​​iguales, [matemática] OO ^ 1 [/ matemática] es el lado común y [matemática] O ^ 1M = O ^ 1N = R ^ 1-R [/ matemática]

Por lo tanto, [math] OM = ON [/ math] o [math] 2a = 2b [/ math] o [math] a = b [/ math].

Intento rápido 1:

Ahora considere el triángulo rectángulo [matemáticas] OPR [/ matemáticas]

[matemáticas] OR ^ 2 = R ^ 2 + a ^ 2 [/ matemáticas] Eq. (4)

Desde el triángulo rectángulo [matemática] ORZ [/ matemática]

[matemáticas] OR ^ 2 = c ^ 2 + (l + x) ^ 2 [/ matemáticas] Eq. (5)

De las ecuaciones. (4) y (5),

[matemáticas] (l + x) ^ 2 = R ^ 2 + a ^ 2-c ^ 2 [/ matemáticas] Eq. (6)

Considere el triángulo rectángulo [matemáticas] OSQ [/ matemáticas],

[matemáticas] OS ^ 2 = R ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas] Eq. (7)

Considere el triángulo rectángulo [matemáticas] OSZ [/ matemáticas],

[matemáticas] OS ^ 2 = c ^ 2 + (l + y) ^ 2 [/ matemáticas] Eq. (8)

De las ecuaciones (7) y (8),

[matemáticas] (l + y) ^ 2 = R ^ 2 + b ^ 2-c ^ 2 [/ matemáticas]

como mostramos que [matemáticas] a = b [/ matemáticas],

[matemáticas] (l + y) ^ 2 = R ^ 2 + a ^ 2-c ^ 2 [/ matemáticas] Eq. (9)

Eqs. (6) y (9) demuestran claramente que [matemática] (l + x) ^ 2 = (l + y) ^ 2 [/ matemática] o [matemática] x = y [/ matemática] o [matemática] RA = SB [/matemáticas].

Manera más fácil:

Los triángulos [matemática] OPR [/ matemática] y [matemática] OQS [/ matemática] son ​​similares porque [matemática] a = b [/ matemática], ángulo [matemática] OPR = OQS = 90 [/ matemática] grados y [matemática] OP = OQ = R [/ matemáticas]

Esto implica [matemáticas] OR = OS [/ matemáticas]

Ahora los triángulos [matemática] ORZ [/ matemática] y [matemática] OSZ [/ matemática] también son similares porque [matemática] OR = OS [/ matemática], [matemática] OZ [/ matemática] es común y el ángulo [matemática] OZS = OZR = 90 [/ matemáticas] grados

Esto implica [matemática] RZ = SZ [/ matemática] o [matemática] x + l = y + l [/ matemática] o [matemática] x = y [/ matemática] o [matemática] RA = SB [/ matemática].

Answer 3

A partir de la simetridad de los círculos y las líneas tangentes construidas, la figura es claramente simétrica respecto a OO ‘, la igualdad requerida sigue