Dados tres vectores que forman un triángulo equilátero, ¿son iguales los productos de puntos mutuos?

Answer 1

No. (Para las direcciones de los vectores que usted haya dado).

TL; DR: debe medir el ángulo entre dos vectores, según las reglas del vector (extrapolando uno para intersecar al otro y midiendo el ángulo interno contenido entre los dos vectores. Por ángulo interno, me refiero al que se ve desde el lado donde ambos los vectores divergen del punto de intersección).

Consideremos los siguientes dos pares:

1. [matemáticas] \ vec {u}. \ Vec {v} [/ matemáticas]

El ángulo interno entre los vectores, [matemática] \ theta = [/ matemática] [matemática] \ frac {\ pi} {3} [/ matemática]

El producto punto en este caso es [matemáticas] + \ frac {1} {2} [/ matemáticas] (suponiendo que [matemáticas] || \ vec {u} || = 1 [/ matemáticas])

2. [math] [/mathfont>[mathfont>\vec{u}.\vec{w}[/math]

El ángulo interno entre los vectores, [matemática] \ theta = [/ matemática] [matemática] \ frac {2 \ pi} {3} [/ matemática]

El producto punto en este caso es [matemáticas] – \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

Intuitivamente, el producto de puntos mide el grado de superposición entre varios componentes de los dos vectores .

Para el caso de 1, hay una superposición positiva en las direcciones de los componentes distintos de cero (solo x) en ambos vectores.

Y para el caso 2, hay una superposición negativa, con ambos vectores con direcciones opuestas entre sí en componentes con una magnitud distinta de cero.

Alineemos [math] \ vec {u} [/ math] a lo largo del eje [math] x [/ math], suponiendo que se haya originado desde el origen [math] (0, 0) [/ math].

(El código de Python para este diagrama se puede obtener aquí, si está interesado)

Ahora [math] \ vec {u} [/ math] se mueve en la dirección [math] + x [/ math] con una unidad de magnitud, pero tiene 0 magnitud de movimiento a lo largo del eje [math] y [/ math].

[math] \ vec {v} [/ math] se mueve en [math] + x [/ math] con una magnitud de [math] \ cos ([/ math] [math] \ frac {\ pi} {3} [/ math] [math]) = 0.5 [/ math], y también en [math] + y [/ math] con una magnitud de [math] \ sin ([/ math] [math] \ frac {\ pi } {3}). [/ Matemáticas]

[math] \ vec {w} [/ math] se mueve en la dirección [math] -x [/ math] con una magnitud de [math] \ cos (\ frac {\ pi} {3}) = 0.5 [/ math ] y también en la dirección [math] + y [/ math] con una magnitud de [math] \ sin (\ frac {\ pi} {3}). [/ math]

Ahora comparando [math] \ vec {u} [/ math] con [math] \ vec {v} [/ math], podemos ver que la superposición resultante a lo largo de [math] y [/ math] es 0, sin embargo, la resultante la superposición a lo largo de x es el producto de dos componentes individuales [matemática] 1 * \ cos (\ frac {\ pi} {3}) = 0.5 [/ matemática]

Sin embargo, con [math] \ vec {w} [/ math], hay una superposición negativa (las direcciones son opuestas entre sí ) a lo largo de la dirección [math] x [/ math] en una magnitud igual a [math] \ cos \ frac {\ pi} {3} = 0.5 [/ math], pero con un signo negativo para indicar que [math] \ vec {w} [/ math] y [math] \ vec {v} [/ math] se mueven en direcciones opuestas). (La superposición neta a lo largo del eje [math] y [/ math] es 0 como antes).

Answer 2

Dicho es correcto: la forma en que orienta los vectores está cambiando los ángulos. Por lo tanto, debe invertir los vectores para mantener el producto escalar igual:

[math] \ mathbf {u}. \ mathbf {v} = [/ math] [math] \ mathbf {w}. \ mathbf {v} = – [/ math] [math] \ mathbf {u}. \ mathbf {w} [/ matemáticas]

Answer 3

Como mencionas, el producto punto (también llamado producto interno ) de dos vectores depende solo de su longitud (también llamada norma ) y del coseno del ángulo entre ellos.

Como estos tres vectores tienen la misma longitud, el producto escalar solo puede diferir si el coseno del ángulo entre ellos difiere. El ángulo entre [math] \ mathbf u [/ math] y [math] \ mathbf v [/ math] es [math] 60 ^ {\ circ} [/ math] al igual que el ángulo entre [math] \ mathbf v [ / math] y [math] \ mathbf w [/ math]. Pero el ángulo entre [math] \ mathbf u [/ math] y [math] \ mathbf v [/ math] es [math] 120 ^ {\ circ} [/ math]. Como [math] \ cos 60 ^ {\ circ} = \ frac12 [/ math] mientras que [math] \ cos 120 ^ {\ circ} = – \ frac12 [/ math], los productos de puntos por pares de estos tres vectores no son todos iguales

Sin embargo, sus valores absolutos no dependen de la orientación de los vectores, por lo que los valores absolutos del producto de puntos por pares son todos iguales, ese valor es [math] \ frac12 [/ math] veces su longitud común.

Answer 4

Debe voltear la dirección del vector v para que esto sea cierto. Hasta firmar, será cierto dependiendo de la orientación de los vectores.

Answer 5

Bueno, los productos de punto serían todos iguales, pero el valor del producto de punto sería (magnitud de un lado) ^ 2 * cos (60). El producto de puntos de los vectores unitarios es simplemente el coseno del ángulo entre ellos, pero cuando los vectores tienen una magnitud diferente de 1, el valor del producto de puntos cambia.

Answer 6

Si resuelve los vectores utilizando el vector w como la dirección + x (i), entonces, y

| u | = | v | = | w |

uw = (- u cos 60 (I) – u sen 60 (j)). (w (I) + w sin 0 (j)) = – uw cos 60 = – (1/2) u ^ 2

uv = (-ucos60 (I) -usin60 (j)). (v cos 60 (I) -v sin60 (j))

uv = -uv cos ^ 2 60 + (3/4) uv sin ^ 2 60 = + (1/2) u ^ 2

wv = (w cos (0) (I) + w sin (0) (j)). (u cos 60 (I) -u sin 60 (j))

w. v = wu cos 60 +0 = (1/2) u ^ 2

Entonces wv = uv = – uw