¿Hay algún programa de computadora que simule objetos de dimensiones superiores en un espacio tridimensional? Educación te da un futuro mejor

Puede usar ecuaciones matemáticas y una calculadora gráfica 3D para crear y explorar casi cualquier tipo de objeto de dimensiones superiores. El programa es CalcPlot3D, que hace esto muy bien: Explorando el cálculo multivariable. Necesitará una mac / pc y una extensión Java actual para hacer esto por ahora, tabletas más adelante. Puede hacer clic en el icono en el sitio web o descargar un iniciador de escritorio.

Abra el programa y realice las siguientes configuraciones (preferencias personales que tengo después de usar el programa por un tiempo):

Ver configuración> Configuración avanzada / otra> Establecer brillo de color> Bajo – 0%
Ver configuraciones> Configuraciones avanzadas / otras> # Pasos de rotación> otras> 200
Gráficos> Borrar todos los gráficos
Gráfico> Agregar una superficie implícita

Número de cubos en cada dirección = 35

Parámetros> Ajustar parámetros

Establecer estos rangos de parámetros

-10 <a <10
0 <b <pi / 2
0 <c <pi / 2
0 <d <pi / 2
0 <t <pi / 2

En la ventana de controles deslizantes, configure todos los parámetros a cero

Haga clic en el ícono del extremo derecho (barras azules con puntos en blanco y negro) debajo de los elementos del menú, para abrir la ventana Formatear gráfico

Establezca viewbox en X, Y, Z min = -10 / X, Y, Z max = 10, Aplicar cambios

Alinee el cuadro de visualización como desee

presione las teclas b, h, e para alternar el cuadro, los ejes y las líneas topográficas en las superficies, respectivamente, cuando lo desee. Mantener las líneas topográficas ‘e’ fuera aumenta el rendimiento.

Ahora estás listo para graficar una ecuación. Y ahora viene la parte divertida:

Generando una ecuación para un hipertoro

Abra el Bloc de notas y escriba la expresión como Ecuación 1 : x^2 + x^2 = 1

Este es un diseño general de una ecuación circular. Vamos a reemplazar las variables, por lo que y ^ 2 no es importante en este momento.

Debajo de esto, escriba la expresión como Eq 2 : (sqrt(x^2 + x^2) -2)

Este es el diseño general de una ecuación para desplazar un objeto a lo largo de un eje, luego barrer en una trayectoria circular, en n + 1 dimensiones. En otras palabras, es un gran círculo hueco en el que vamos a incrustar algo pequeño. Crea un objeto en forma de anillo con un agujero.

Siguiente paso: Reemplace una variable en la ecuación 1 , con toda la ecuación 2 . La primera iteración de hacer esto producirá:

[matemáticas] x ^ 2 + x ^ 2 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ left (\ sqrt {x ^ 2 + x ^ 2} -2 \ right) [/ math]

[matemática] \ left (\ sqrt {x ^ 2 + x ^ 2} -2 \ right) ^ 2 + x ^ 2 = 1 [/ math]

(sqrt (x ^ 2 + x ^ 2) -2) ^ 2 + x ^ 2 = 1

que es el diseño general de una ecuación para un toro o anillo de anillos. Para usar esto como una ecuación 3D adecuada, vuelva a escribirla usando x, y, z:

[matemática] \ left (\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} -2 \ right) ^ 2 + z ^ 2 = 1 [/ math]

(sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) -2) ^ 2 + z ^ 2 = 1

Copie y pegue esto en la línea de entrada implícita y presione Graph. Asegúrese de haber configurado 30 ~ 35 cubos. ¡Crearás un toro! Comenzando con un círculo 2D, el movimiento definido por (sqrt(x^2 + x^2) -2) generó un objeto similar a un anillo 3D con un agujero en él. El círculo trazó un camino circular más grande en 3D y formó una rosquilla.

Objetos 4D

Entonces, ¿qué pasa si comenzamos con algo que ya era un objeto en forma de anillo, con un agujero preexistente? Estaríamos moviendo un toro a lo largo de un eje, luego barriendo en otro círculo, en una cuarta dimensión espacial. Esto generaría un objeto en forma de anillo más complejo, que ahora tiene 2 agujeros. Hay 2 formas distintas de barrer un toro en 4D, cada una de las cuales genera una forma 4D única. Usando la ecuación del toro, podemos reemplazar x o z con la ecuación 2 .

Creación y exploración de un 3-Torus, [matemática] T ^ 3 [/ matemática]

Usando la ecuación de toro anterior:

(sqrt(x^2 + y^2) -2)^2 + z^2 = 1
reemplace x con (sqrt(x^2 + x^2) -4) , y vuelva a escribir con x, y, z, w.

Se utiliza el coeficiente de 4, que es lo suficientemente grande como para traer el origen (0,0,0) fuera del interior del toro. Esto es necesario para definir un anillo toro, que no se cruza entre sí. Como regla general, use el doble del valor del siguiente diámetro anidado inferior (que es, en este caso, 2)

(sqrt((sqrt(x^2 + y^2) -4)^2 + z^2) -2)^2 + w^2 = 1

[matemáticas] \ left (\ sqrt {\ left (\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} -4 \ right) ^ 2 + z ^ 2} -2 \ right) ^ 2 + w ^ 2 = 1 [/ matemáticas]

Esta es la ecuación de una rosquilla 4D llamada 3-torus, o [math] T ^ 3 [/ math]. Es una función de grado 8 de 4 variables y 3 coeficientes (define los tamaños de anillo y agujero).

Para hacer de esto una ecuación 3D, establezca una de las variables en cero. Esto está haciendo una porción 3D de un objeto 4D. Hay tres cortes distintos que podemos hacer para un toro 3, estableciendo y, z o w en cero, luego reescribiendo la ecuación con x, y, z según sea necesario.

Pasando a la 4ta dimensión

Estas 3 ecuaciones de sección transversal representarán gráficamente un producto de 2 toros, en diferentes disposiciones. Las dos intersecciones de toro son las soluciones exactas (raíces) de una superficie curva de dimensiones superiores. Puede reemplazar el 0 ^ 2 con la letra ‘a’ y usar el control deslizante ajustable para ‘a’ para mover el objeto a lo largo del 4to eje. Si se corta más lejos del centro de un objeto en forma de anillo, los objetos que se cruzan se fusionarán.

(sqrt ((sqrt (x ^ 2 + a ^ 2) -4) ^ 2 + y ^ 2) -2) ^ 2 + z ^ 2 = 1

Ajustando ‘a’ de -8 a +8, verá http://q.miximages.com/40500/High-dimensional spaces / HzXnKod.gif

(sqrt ((sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) -4) ^ 2 + a ^ 2) -2) ^ 2 + z ^ 2 = 1

Ajustando ‘a’ de -4 a +4, verá http://i.imgur.com/TE30yAI.webm

(sqrt ((sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) -4) ^ 2 + z ^ 2) -2) ^ 2 + a ^ 2 = 1

presione ctrl + shft + t, 140, para establecer el nivel de transparencia
Ajustando ‘a’ de -2 a +2, verá http://i.imgur.com/vn78OhP.webm

Rotación y traducción a 4D

Para explorar realmente este objeto de cuatro dimensiones, necesitamos la capacidad de deslizar y rotar. Esto se hace reemplazando 3 variables cada una con una pequeña ecuación. Hay tres formas distintas de rotar el corte 3D de un toro 3 para realizar cambios únicos en las intersecciones del toro. Los 3 se pueden ‘unir’ en una ecuación. La siguiente función de rotación / traslación tiene múltiples rotaciones combinadas con una traslación, lo que nos permite ver las 3 rotaciones de coordenadas, incluidas las más exóticas rebanadas de ángulo oblicuo doble. Usando la ecuación original de 4 variables, establezca:

x = (x*cos(b) + a*sin(b))

z = (z*cos(c) + (x*sin(b) - a*cos(b))*sin(c))

w = (z*sin(c) - (x*sin(b) - a*cos(b))*cos(c))

(Esta es una función de rotación no estándar que he estado usando, que no se derivó con matrices)

Que se convierte

(sqrt ((sqrt ((x * cos (b) + a * sin (b)) ^ 2 + y ^ 2) -4) ^ 2 + (z * cos (c) + (x * sin (b) – a * cos (b)) * sin (c)) ^ 2) -2) ^ 2 + (z * sin (c) – (x * sin (b) – a * cos (b)) * cos (c) ) ^ 2 = 1

Usando los controles deslizantes para explorar el objeto :

ajuste ‘a’ para moverse hacia arriba / abajo a lo largo del 4to eje, donde a = 0 está en el origen
ajuste ‘b’ para rotar la dirección de traducción en un plano. 0 a pi / 2 es un giro completo de 90 grados. También puede restablecer el rango máximo a 2pi para un giro completo de 360 grados.
ajuste ‘c’ para rotar la dirección de traducción en el segundo plano. Se comporta igual que ajustar b, pero gira en una dirección diferente.
Intente mover los controles deslizantes de rotación hacia adelante y hacia atrás en diferentes combinaciones, y verá que las diferentes secciones de coordenadas se transforman entre sí

Rotaciones que verá:

http://i.imgur.com/edbLud8.webm
http://i.imgur.com/rhjjHZx.webm
http://i.imgur.com/v5MjB3f.webm

También puede realizar exploraciones completas del objeto 4D, manteniendo un ángulo de inclinación constante con byc (entre 0 y pi / 2), mientras desliza ‘a’ completamente a la izquierda derecha. Si configura dos ángulos combinados, obtendrá algunos escaneos aún más geniales que no se ven en las animaciones.

Escaneos de ángulo que verá:

http://i.imgur.com/w4On50F.webm
http://i.imgur.com/lzNpNbu.webm
http://i.imgur.com/1J9dCQd.webm

Creando el 4D Tiger

Llamado así por su dificultad para visualizar, este objeto se crea moviendo un toro verticalmente a lo largo del eje z, luego barriendo hacia 4D. Esto generará un nuevo objeto en forma de anillo, que también tiene dos agujeros. A modo de comparación, el 3-torus se realiza cambiando un toro horizontalmente, luego barrer en 4D.

Comenzando con la ecuación del toro,

(sqrt(x^2 + y^2) -2)^2 + z^2 = 1
establece z = (sqrt(z^2 + w^2) -2) , que se convierte en:
(sqrt(x^2 + y^2) -2)^2 + (sqrt(z^2 + w^2) -2)^2 = 1

[matemáticas] \ left (\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} -2 \ right) ^ 2 + \ left (\ sqrt {z ^ 2 + w ^ 2} -2 \ right) ^ 2 = 1 [/ matemáticas]

Una función de grado 8 de 4 variables, 3 coeficientes

Para este, todos los cortes 3D se verán iguales, por lo que podemos establecer w = 0 (y reemplazar con ‘a’) para facilitar y simplificar:

(sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) -2) ^ 2 + (sqrt (z ^ 2 + a ^ 2) -2) ^ 2 = 1

Graficar esta función hará un producto de 2 intersecciones de toro que se apilan verticalmente (en una columna ). Ajustar ‘a’ para traducir hará que el tori se fusione, cortando más cerca del borde del anillo. Para una función de rotación / traslación, solo hay una forma distinta de rotar un tigre, que transforma las intersecciones en una columna lateral . Para esto, utilizaremos una función de rotación simple más simple configurando:

x = (x*cos(b) + a*sin(b))

w = (x*sin(b) - a*cos(b))

que se convierte

(sqrt ((x * cos (b) + a * sin (b)) ^ 2 + y ^ 2) -2) ^ 2 + (sqrt (z ^ 2 + (x * sin (b) – a * cos ( b)) ^ 2) -2) ^ 2 = 1

Graficar esta función permitirá una exploración completa del tigre. Use ‘a’ para escanear, ‘b’ para rotar.

Rotación: http://i.imgur.com/3WwPkBE.webm

Análisis de ángulo: http://i.imgur.com/j7LWsnP.webm

La hiperesfera y dos tipos más de Toro 4D:

Usando solo rotar / traducir con a, b:

[matemática] S ^ 3 [/ matemática]: la hiperesfera 4D, un Glome (solo traducción / sin rotación)

x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + a ^ 2 = 4

Otros dos tipos de toro de anillo no autoinfectante en 4D:

[matemática] S ^ 1 x S ^ 2 [/ matemática]: círculo-haz sobre la esfera, una Torisfera

(sqrt ((x * cos (b) + a * sin (b)) ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) – 4) ^ 2 + (x * sin (b) – a * cos (b)) ^ 2 = 4

[matemáticas] S ^ 2 x S ^ 1 [/ matemáticas]: haz de esferas sobre el círculo, un Spheritorus

(sqrt ((x * cos (b) + a * sin (b)) ^ 2 + y ^ 2) – 4) ^ 2 + z ^ 2 + (x * sin (b) – a * cos (b)) ^ 2 = 4

Todos estos toros 4D se pueden ver juntos en esta galería, que enlaza con otra:

Rosquillas giratorias de cuatro dimensiones

En aras de la analogía, aquí hay algo para ayudar a explorar las rebanadas de un objeto: Explorar las rebanadas 2D de un Toro 3D:

https://www.desmos.com/calculato…

Creando un 5D Hypertorus

Ahora estamos empezando a llegar a lo bueno. Hemos explicado brevemente cómo:

Genere n + 1D objetos en forma de anillo con agujeros (adicionales)

x = (sqrt(x^2 + x^2) -2n) ; reescribir como x, y, z, w, etc.

Córtelos en ecuaciones 3D, con ajuste de traslación en 4D

y = a, z = a, w = a, etc.

Codificar una función rotar / traducir

x = (x*cos(b) + a*sin(b)) ; a = (x*sin(b) - a*cos(b))

Use controles deslizantes ajustables para navegar alrededor de un hiperobject

‘a’ = traducir; ‘b, c’ = rotar

Comenzando con un objeto en forma de anillo 4D con 2 agujeros preexistentes, lo desplazamos a lo largo de un eje, luego barrimos en círculo en una quinta dimensión espacial. Esto generará un objeto en forma de anillo aún más complejo, que ahora tiene 3 agujeros. Solo se hace un tipo de toro 5D moviendo y girando un tigre, a lo largo de cualquier eje. El mismo objeto también proviene de girar un toro 3, por lo que solo tendremos que cubrir los objetos hechos con un toro 3. Hay 3 formas distintas de ‘cambiar y luego barrer’ un toro 3 en 5D, que generan 3 formas distintas.

Crear y explorar el 4 toro , [matemática] T ^ 4 [/ matemática]

Comience con la ecuación de un toro 3:

(sqrt((sqrt(x^2 + y^2) -4)^2 + z^2) -2)^2 + w^2 = 1
Establezca x = (sqrt(x^2 + x^2) -8) , reescriba con x, y, z, w, v
(sqrt((sqrt((sqrt(x^2 + y^2) -8)^2 + z^2) -4)^2 + w^2) -2)^2 + v^2 = 1

[matemáticas] \ left (\ sqrt {\ left (\ sqrt {\ left (\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} -8 \ right) ^ 2 + z ^ 2} -4 \ right) ^ 2 + w ^ 2} -2 \ derecha) ^ 2 + v ^ 2 = 1 [/ matemáticas]

Una función de grado 16 de 5 variables y 4 coeficientes.

Para convertir esto en una ecuación 3D utilizable, necesitamos cancelar dos variables y reescribir como x, y, z. Esto es ‘cortar dos veces’, lo que termina haciendo cuatro objetos de intercepción en 3D. Estos objetos son diferentes configuraciones de tori. Como hemos visto en algunos ejemplos anteriores, cortar un objeto en forma de anillo solo una vez puede conducir a dos objetos, uno al lado del otro, en una columna vertical o un par concéntrico de algún diámetro.

Entonces, si cortamos un objeto similar al anillo 5D en 4D, terminaremos con 2 objetos, que son 4D. Cortando una vez más, y obtendremos 2 × 2 = 4 objetos, que son 3D. Incluso podemos cortar en 3D dentro del espacio, entre los objetos 4D, lo que lleva a una solución compleja de 3 variables, cuando uno de los coeficientes se convierte en un número imaginario. ¡Un agujero rodeado por un anillo que contiene un plano 3D infinito!

Secciones transversales 3D de T ^ 4, con traducción en 4D y 5D

Establezca viewbox en X, Y, Z min = -16 / X, Y, Z max = 16, Aplicar cambios
Establezca ctrl + sft + t, 70 para una transparencia más clara
Establezca los rangos de parámetros -16 < a < 16 y -16 < b < 16

(sqrt((sqrt((sqrt(x^2 + y^2) -8)^2 + z^2) -4)^2 + a^2) -2)^2 + b^2 = 1

(sqrt((sqrt((sqrt(x^2 + y^2) -8)^2 + a^2) -4)^2 + z^2) -2)^2 + b^2 = 1

(sqrt((sqrt((sqrt(x^2 + a^2) -8)^2 + y^2) -4)^2 + z^2) -2)^2 + b^2 = 1

(sqrt((sqrt((sqrt(x^2 + y^2) -8)^2 + a^2) -4)^2 + b^2) -2)^2 + z^2 = 1

(sqrt((sqrt((sqrt(x^2 + a^2) -8)^2 + y^2) -4)^2 + b^2) -2)^2 + z^2 = 1

(sqrt((sqrt((sqrt(x^2 + a^2) -8)^2 + b^2) -4)^2 + y^2) -2)^2 + z^2 = 1

Y, esta genial, una solución compleja:

(sqrt((sqrt((sqrt(a^2 + b^2) -8)^2 + x^2) -4)^2 + y^2) -2)^2 + z^2 = 1

El anillo del toro 4 está dando vueltas completamente alrededor del plano 3, sin tocarlo (intersectarlo). El ajuste de ‘a’ o ‘b’ en ± 8 se alejará del centro del agujero hacia el anillo, donde veremos aparecer dos toros, dividirse y fusionarse, cuando se corta. Imagínese haciendo brillar un puntero láser a través del orificio de un anillo de donut salvavidas. Estás viendo lo mismo, pero con un rayo láser 3D y un anillo de rosca 5D.

Usando los controles deslizantes

Ajuste ‘a’ para deslizarse hacia arriba / abajo a lo largo del 4to eje
Ajuste ‘b’ para deslizarse hacia arriba / abajo a lo largo del 5 ° eje

Pero en realidad, son solo dos dimensiones adicionales, sin un etiquetado real sobre si es la cuarta o quinta. Es como explorar una caverna subterránea con un puntero láser. La oscuridad es lo que no podemos ver en el espacio 4D y 5D. El puntero láser es nuestro plano 3D, que tiene la misma delgadez relativa de una línea en 3D (siendo 2D menos). Tenemos que mover el puntero láser hacia arriba / abajo y hacia la izquierda / derecha para escanear e imaginar correctamente todo lo que hay. El mismo trato con el uso de 3D para explorar 5D, tenemos estas dos direcciones adicionales.

Rebanadas que verás :

Estas son las soluciones exactas de 3 variables de la ecuación para T ^ 4. Obtenemos un producto de 4 raíces, de un toro 3D, como 6 reales, y un complejo.

Rotar / Traducir en 4D y 5D:

Las funciones de rotación / traslación simple y de rotación / traslación simple se pueden usar para el 4-torus. Pero, dado que hay dos variables adicionales para reemplazar, también podemos usar una función con 4 direcciones de rotación para una sola traducción.

Establezca el rango 0 < b < pi/2 nuevamente, ya que lo estamos usando para la rotación

Usando la ecuación de la sección x:

(sqrt ((sqrt ((sqrt (x ^ 2 + a ^ 2) -8) ^ 2 + y ^ 2) -4) ^ 2 + b ^ 2) -2) ^ 2 + z ^ 2 = 1

conjunto:

x = (x*cos(b) + a*sin(b))

y = (y*cos(c) + (x*sin(b) - a*cos(b))*sin(c))

z = (z*cos(d) + (y*sin(c) - (x*sin(b) - a*cos(b))*cos(c))*sin(d))

a = ((z*sin(d) - (y*sin(c) - (x*sin(b) - a*cos(b))*cos(c))*cos(d))*cos(t))

b = ((z*sin(d) - (y*sin(c) - (x*sin(b) - a*cos(b))*cos(c))*cos(d))*sin(t))

Que se convierte en:

(sqrt ((sqrt ((sqrt ((x * cos (b) + a * sin (b)) ^ 2 + ((z * sin (d) – (y * sin (c) – (x * sin (b ) – a * cos (b)) * cos (c)) * cos (d)) * sin (t)) ^ 2) -8) ^ 2 + (y * cos (c) + (x * sin (b) ) – a * cos (b)) * sin (c)) ^ 2) -4) ^ 2 + ((z * sin (d) – (y * sin (c) – (x * sin (b) – a * cos (b)) * cos (c)) * cos (d)) * cos (t)) ^ 2) -2) ^ 2 + (z * cos (d) + (y * sin (c) – ( x * sin (b) – a * cos (b)) * cos (c)) * sin (d)) ^ 2 = 1

O use la sección x:

(sqrt ((sqrt ((sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) -8) ^ 2 + a ^ 2) -4) ^ 2 + z ^ 2) -2) ^ 2 + b ^ 2 = 1

que se convierte en:

(sqrt ((sqrt ((sqrt ((x * cos (b) + a * sin (b)) ^ 2 + (y * cos (c) + (x * sin (b) – a * cos (b)) * sin (c)) ^ 2) -8) ^ 2 + ((z * sin (d) – (y * sin (c) – (x * sin (b) – a * cos (b)) * cos ( c)) * cos (d)) * cos (t)) ^ 2) -4) ^ 2 + (z * cos (d) + (y * sin (c) – (x * sin (b) – a * cos (b)) * cos (c)) * sin (d)) ^ 2) -2) ^ 2 + ((z * sin (d) – (y * sin (c) – (x * sin (b) – a * cos (b)) * cos (c)) * cos (d)) * sin (t)) ^ 2 = 1

Usando los controles deslizantes:

Ajuste ‘a’ para deslizarse a lo largo de una de las direcciones adicionales
Ajuste ‘b’ para rotar en el plano # 1
Ajuste ‘c’ para girar en el plano # 2
Ajuste ‘d’ para rotar en el plano # 3
Ajuste ‘t’ para rotar en el plano # 4

O utilice primero las funciones de rotación más simples.

Creando el 5D Toratiger

Jugando con alguna nomenclatura, podemos encontrar algunos nombres tontos para estas cosas. Pero, la parte importante, es cómo el objeto difiere del 4 toro y el otro 5D. Este hipertorio está hecho por la segunda forma de rotar un toro 3. Este objeto también puede entenderse como un pequeño círculo incrustado en la superficie de un tigre 4D.

Usando la ecuación [math] T ^ 3 [/ math]:

(sqrt ((sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) -4) ^ 2 + z ^ 2) -2) ^ 2 + w ^ 2 = 1

establecer z = (sqrt(x^2 + x^2) -4) , reescribir con x, y, z, w, v
se utiliza el coeficiente de 4, ya que el siguiente diámetro anidado inferior es de 2 unidades

(sqrt ((sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) -4) ^ 2 + (sqrt (z ^ 2 + w ^ 2) -4) ^ 2) -2) ^ 2 + v ^ 2 = 1

[matemáticas] \ left (\ sqrt {\ left (\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} -4 \ right) ^ 2 + \ left (\ sqrt {z ^ 2 + w ^ 2} -4 \ right) ^ 2} -2 \ derecha) ^ 2 + v ^ 2 = 1 [/ matemáticas]

Una función de grado 16 de 5 variables y 4 coeficientes.

Distintas rebanadas 3D:

Puede volver a establecer el cuadro de vista en XYZmin = -10, XYZmax = +10 para los siguientes dos objetos

Real:

(sqrt ((sqrt (x ^ 2 + a ^ 2) -4) ^ 2 + (sqrt (y ^ 2 + b ^ 2) -4) ^ 2) -2) ^ 2 + z ^ 2 = 1
(sqrt ((sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) -4) ^ 2 + (sqrt (z ^ 2 + a ^ 2) -4) ^ 2) -2) ^ 2 + b ^ 2 = 1

Complejo:

(sqrt ((sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) -4) ^ 2 + (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) -4) ^ 2) -2) ^ 2 + z ^ 2 = 1

El ajuste ‘a’ y / o ‘b’ se deslizará hacia afuera desde el centro del agujero, y cortará el anillo que sale como un par de 2 toros, concéntricos en el diámetro mayor

En este momento, debería estar bien equipado para manejar esta función, reemplazando las variables con ecuaciones de rotación y utilizando los controles deslizantes para explorar el hiperespacio. La única animación que tengo de esta cosa es una doble rotación simultánea, vista como la primera animación en esta galería: Multirrotaciones de Toros Dimensionales Superiores

Creando el 5D Tiger Torus

La tercera forma final de barrer un toro 3 en un espacio de 5 dimensiones. Este es el que también se puede hacer barriendo un tigre 4D en R ^ 5, de ahí el nombre. También se puede entender como un pequeño tigre 4D incrustado en la superficie de un círculo más grande y hueco.

Usando la ecuación [math] T ^ 3 [/ math]:

(sqrt ((sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) -4) ^ 2 + z ^ 2) -2) ^ 2 + w ^ 2 = 1

establecer w = (sqrt(w^2 + v^2) -2)
se utiliza el coeficiente de 2, ya que el siguiente diámetro anidado inferior es 1 unidad

(sqrt ((sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) -4) ^ 2 + z ^ 2) -2) ^ 2 + (sqrt (w ^ 2 + v ^ 2) -2) ^ 2 = 1

[matemáticas] \ left (\ sqrt {\ left (\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} -4 \ right) ^ 2 + z ^ 2} -2 \ right) ^ 2 + \ left (\ sqrt {w ^ 2 + v ^ 2} -2 \ derecha) ^ 2 = 1 [/ matemáticas]

Una función de grado 16 de 5 variables, 4 coeficientes

Distintas rebanadas 3D:

Soluciones reales:

(sqrt ((sqrt (x ^ 2 + a ^ 2) -4) ^ 2 + b ^ 2) -2) ^ 2 + (sqrt (y ^ 2 + z ^ 2) -2) ^ 2 = 1

Traza una columna vertical de 4 toros

(sqrt ((sqrt (x ^ 2 + a ^ 2) -4) ^ 2 + y ^ 2) -2) ^ 2 + (sqrt (z ^ 2 + b ^ 2) -2) ^ 2 = 1

Traza una matriz cuadrada vertical de 2 x 1 x 2 de 4 tori

(sqrt ((sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) -4) ^ 2 + b ^ 2) -2) ^ 2 + (sqrt (z ^ 2 + b ^ 2) -2) ^ 2 = 1

Traza una columna vertical de 2 pares de toros concéntricos, en el diámetro mayor

Soluciones complejas:

(sqrt ((sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) -4) ^ 2 + z ^ 2) -2) ^ 2 + (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) -2) ^ 2 = 1

El ajuste ‘a’ o ‘b’ en ± 2 unidades se deslizará desde el centro del orificio y cortará el anillo, que sale como un par concéntrico de 2 toros en el diámetro menor

(sqrt ((sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) -4) ^ 2 + x ^ 2) -2) ^ 2 + (sqrt (y ^ 2 + z ^ 2) -2) ^ 2 = 1

El ajuste ‘a’ o ‘b’ en ± 4 unidades se deslizará desde el centro del agujero y cortará el anillo, que sale como un par disjunto de 2 toros en una disposición de columna.

Al explorar este objeto, verá muchas de las cosas en esta galería:

Hyperdonut: 5D Tiger Torus (((II) I) (II))

Y, eso lo cubre, hasta 5D. Todavía hay 8 tipos más de toro que pueden existir en 5D, en los que no me metí, algunos vistos aquí: 5D Hyperdonut Rings. Y, como puede ver, este proceso puede extenderse fácilmente para construir también hipertori 6D, 7D, 8D, 9D. Si usted o alguien más está interesado, puedo elaborar más sobre 6D hypertori, y más allá. También omití por completo otra clase de objetos, como el pentachorón, el hipercubo, el cubo, el duocilindro y muchos otros objetos 4D elementales que se pueden definir mediante ecuaciones, que se ven aquí: Ecuaciones implícitas de formas elementales