Cómo integrarse para encontrar el área de un círculo

Answer 1

Supongo que sí.

La ecuación de un círculo centrado en el origen con radio r es:

[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]

Podemos resolver por y y obtener:

[matemáticas] y = \ sqrt {r ^ 2-x ^ 2} [/ matemáticas]

Ahora, esta nueva ecuación solo representa la mitad superior del círculo, por lo que tendremos que multiplicar por 2 e integrar:

[matemáticas] A = 2 \ int _ {- r} ^ {r} \ sqrt {r ^ 2-x ^ 2} dx [/ matemáticas]

Factoriza un [math] r ^ 2 [/ math] de la raíz cuadrada:

[matemáticas] A = 2r \ int _ {- r} ^ {r} \ sqrt {1- \ frac {x ^ 2} {r ^ 2}} dx [/ matemáticas]

Dejemos que [math] \ frac {x} {r} = \ sin {u} [/ math]. Esto funciona porque, desde dentro del círculo, [math] x \ leq r [/ math], entonces [math] \ frac {x} {r} \ leq 1 [/ math]. Luego, tomando la derivada de ambos lados, obtenemos

[matemáticas] \ frac {1} {r} dx = \ cos {u} du [/ matemáticas]

[matemáticas] dx = r \ cos {u} du [/ matemáticas]

Luego, volvamos a esa integral y sustituyamos:

[matemáticas] A = 2r \ int_ {x = -r} ^ {x = r} (\ sqrt {1- \ sin ^ 2 {u}}) (r \ cos {u}) du [/ math]

[matemáticas] A = 2r ^ 2 \ int_ {x = -r} ^ {x = r} (\ sqrt {\ cos ^ 2 {u}}) (\ cos {u}) du [/ math]

[matemáticas] A = 2r ^ 2 \ int_ {x = -r} ^ {x = r} \ cos ^ 2 {u} du [/ matemáticas]

Cuando [matemática] x = -r [/ matemática], [matemática] \ frac {x} {r} = -1 = \ sin {u} [/ matemática] y [matemática] u = – \ frac {\ pi } {2} [/ matemáticas]

Cuando [matemática] x = -r [/ matemática], [matemática] \ frac {x} {r} = 1 = \ sin {u} [/ matemática] y [matemática] u = \ frac {\ pi} { 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] A = 2r ^ 2 \ int _ {- \ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ cos ^ 2 {u} du [/ math]

[matemáticas] A = 2r ^ 2 [\ frac {u} {2} + \ frac {\ sin {2u}} {4}] _ {- \ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] A = 2r ^ 2 [(\ frac {\ pi} {4} + \ frac {\ sin {\ pi}} {4}) – (- \ frac {\ pi} {4} + \ frac { \ sin {3 \ pi}} {4})] [/ matemáticas]

Resulta que [math] \ sin {\ pi} [/ math] y [math] \ sin {3 \ pi} [/ math] son ​​0, entonces tenemos:

[matemáticas] A = 2r ^ 2 (\ frac {\ pi} {2}) = \ pi r ^ 2 [/ matemáticas]

Answer 2

Tres maneras:

---

1. Corte el círculo en anillos circulares , con radio [matemático] x [/ matemático] y grosor [matemático] dx [/ matemático].

El área de cada anillo es su circunferencia [matemática] 2 \ pi x [/ matemática] multiplicada por su grosor [matemática] dx [/ matemática]. Sumando estos:

[matemáticas] \ int _0 ^ r 2 \ pi x \; dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ izquierda [\ pi x ^ 2 \ derecha] _0 ^ r [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ pi r ^ 2. [/ matemáticas]

---

2. Corte el círculo en trozos triangulares de tarta , con base [matemática] dx [/ matemática] y altura [matemática] r [/ matemática].

El área de cada triángulo es la mitad de la base [matemática] dx [/ matemática] multiplicada por la altura [matemática] r [/ matemática]. Sumarlos:

[matemáticas] \ int_0 ^ {2 \ pi r} \ frac {1} {2} r \; dx [/ math]

[matemáticas] = \ left [\ frac {1} {2} r \; x \ right] _0 ^ {2 \ pi r} [/ math]

[matemáticas] = \ pi r ^ 2 [/ matemáticas]

---

3. Corte el círculo en rectángulos delgados, con ancho [matemático] dx [/ matemático] y alto [matemático] 2 \ sqrt {r ^ 2-x ^ 2} [/ matemático]

El área de cada rectángulo es [matemática] 2 \ sqrt {r ^ 2-x ^ 2} \; dx [/ matemática]. Sumarlos:

[matemáticas] \ int _ {- r} ^ r 2 \ sqrt {r ^ 2-x ^ 2} \; dx [/ matemáticas]

Sustituya [matemáticas] x = r \ sen t [/ matemáticas], [matemáticas] dx = r \ cos t \; dt [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} 2 \ sqrt {r ^ 2-r ^ 2 \ sin ^ 2 t} \; r \ cos t \; dt [/ matemáticas]

[math] = \ int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} 2r ^ 2 \ sqrt {1- \ sin ^ 2 t} \; \ cos t \; dt [/ math]

[math] = \ int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} 2r ^ 2 \ sqrt {\ cos ^ 2 t} \; \ cos t \; dt [/ math]

[matemáticas] = \ int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} 2r ^ 2 \ cos ^ 2 t \; dt [/ matemáticas]

Ahora use la identidad [matemáticas] \ cos ^ 2 t = \ frac {1} {2} (1+ \ cos {2t}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} r ^ 2 (1+ \ cos {2t}) \; dt [/ matemáticas]

[matemáticas] = r ^ 2 \ int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} (1+ \ cos {2t}) \; dt [/ matemáticas]

[matemáticas] = r ^ 2 \ izquierda [t + \ sin {2t} \ derecha] _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = r ^ 2 \ left [\ frac {\ pi} {2} + \ sin {\ pi} – \ frac {- \ pi} {2} – \ sin ({- \ pi}) \ right] [/matemáticas]

[matemáticas] = r ^ 2 \ izquierda [2 \ frac {\ pi} {2} \ derecha] [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ pi r ^ 2 [/ matemáticas]

Answer 3

La manera difícil pero directa: calcule la superficie de un cuarto de círculo que multiplique por 4:

[matemáticas] \ frac {S} {4} = \ int_0 ^ R \ sqrt {R ^ 2-x ^ 2} dx = | x = R \ sin \ varphi, dx = R \ cos \ varpi d \ varphi | = \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} R ^ 2 \ cos ^ 2 \ varphi d \ varphi = \ frac { R ^ 2} {2} \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} 1+ \ cos (2 \ varphi) d \ varphi = \ frac {R ^ 2} {2} (x + \ frac {1 } {2} \ sin (2 \ varphi)) | _0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} = \ frac {R ^ 2} {2} (\ frac {\ pi} {2} +0) = \ frac {\ pi R ^ 2} {4} [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] S = \ pi R ^ 2 [/ matemáticas]

La forma más fácil es si sabe cómo cambiar a coordenadas polares y sabe que el jacobiano de esta transformación es r:

[matemáticas] S = \ int_0 ^ {2 \ pi} \ int_0 ^ R r dr d \ varphi = \ int_0 ^ {2 \ pi} \ frac {R ^ 2} {2} d \ varphi = \ frac {R ^ 2} {2} \ int_0 ^ {2 \ pi} d \ varphi = \ frac {R ^ 2} {2} \ cdot 2 \ pi = \ pi R ^ 2 [/ matemáticas]

Answer 4

Lo primero que debe hacer es una parametrización del círculo C de radio R.

Usted escribe las coordenadas cartesianas:

• [matemáticas] x = u_ {1} (r, \ theta) = r cos (\ theta) [/ matemáticas]
• [matemáticas] y = u_ {2} (r, \ theta) = r sin (\ theta) [/ matemáticas]

Donde estás la transformación.

Tal que: [matemáticas] r \ en [0, R] [/ matemáticas] y [matemáticas] \ theta \ en [0,2 \ pi] [/ matemáticas]

Luego se integra utilizando este cambio variable.

[matemática] \ iint \ limits_C dx dy = \ int_ {0} ^ {R} \ int_ {0} ^ {2 \ pi} det \ bigtriangledown u (r, \ theta) dr d \ theta [/ math]

Pero el jacobiano de la transformación (es decir, [math] det \ bigtriangledown u (r, \ theta) [/ math]) es igual a [math] r [/ math]

Así: [matemática] \ int_ {0} ^ {R} \ int_ {0} ^ {2 \ pi} r dr d \ theta = 2 \ pi \ int_ {0} ^ {R} r dr = 2 \ pi \ frac {R ^ {2}} {2} = \ pi R ^ {2} [/ math]

Conclusión: [matemáticas] \ iint \ limits_C dx dy = \ pi R ^ {2} [/ matemáticas]

PD: La fórmula utilizada para integrar después de un cambio de variable solo es válida bajo la condición de que [math] u (r, \ theta) [/ math] sea inyectiva, lo cual claramente no es el caso aquí porque [math] u (r, 0) = u (r, 2 \ pi) [/ matemáticas]. Para demostrar que esta fórmula es válida en el caso del círculo, es un poco complicado. Desarrollaré esto más si tengo algo de tiempo 🙂

Answer 5

Si usa (o prueba) la circunferencia de un círculo = [matemáticas] 2 \ pi r [/ matemáticas], aquí hay dos formas diferentes de resolver el área de un círculo (además de las formas presentadas por otros):

1. Sume todas las circunferencias de radio [matemática] 0 [/ matemática] a radio [matemática] r [/ matemática]:

[matemáticas] Área \, de \, a \, círculo = \ int_ {0} ^ {r} 2 \ pi r \, dr = [\ pi r ^ 2] _ {0} ^ {r} = \ pi r ^ 2 [/ matemáticas]

O

2. Sume todos los triángulos desde [matemáticas] 0 [/ matemáticas] a [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas]:

Cree triángulos con altura [matemática] r [/ matemática] y base [matemática] rd \ theta [/ matemática] ([matemática] porcentaje \, de \, circunferencia = \ frac {d \ theta} {2 \ pi} [/ matemática], que significa [matemática] la \, longitud \, de \, la \, base \, de \, la \, triángulo = (2 \ pi r) * [/ matemática] [matemática] \ frac {d \ theta } {2 \ pi} = rd \ theta [/ math]

[matemáticas] Área \, de \, triángulo = \ frac {1} {2} * r * rd \ theta = [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {1} {2} r ^ 2d \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] Área \, de \, círculo = \ int_ {0} ^ {2 \ pi} [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {1} {2} r ^ 2 d \ theta = \ frac {r ^ 2 } {2} \ int_ {0} ^ {2 \ pi} d \ theta = \ frac {r ^ 2} {2} [\ theta] _ {0} ^ {2 \ pi} = \ frac {2 \ pi r ^ 2} {2} = \ pi r ^ 2 [/ matemáticas]

Answer 6

Por supuesto, solo tendría que resolver la siguiente integral (le daré el resultado por adelantado):

[matemáticas] V = \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ int_ {0} ^ {r} (r) dr d \ theta = \ pi r ^ {2} [/ matemáticas].

Answer 7

La línea y el círculo dados son …

[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = 25 [/ matemáticas]… (1)

[matemáticas] y = 10–2x [/ matemáticas]…. (2

Ahora usando (1) y (2) obtenemos

[matemáticas] x ^ 2 + (10–2x) ^ 2 = 25 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Flecha derecha x ^ 2–8x + 15 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Flecha derecha x = 5,3 [/ matemáticas]

& y = 0 en x = 5, y = 4 en x = 3

Esto muestra que la línea (1) corta el círculo (2) en (5,0) y (3,4) respectivamente.

Entonces el área de la porción requerida es …

[matemáticas] \ int_0 ^ 5 \ sqrt {25-y ^ 2} dy- \ int_0 ^ 4 (5- \ dfrac {y} {2}) dy- \ int_4 ^ 5 \ sqrt {25-y ^ 2} dy [/matemáticas]

[matemáticas] = 25.π- [5y- \ frac {1} {4} y ^ 2] _4 ^ 5 – [\ dfrac {y \ sqrt {25-y ^ 2}} {2} + sin ^ {- 1} \ frac {y} {5}] _ 4 ^ 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 25.π- (20–4) -6-sin ^ {- 1} \ frac {4} {5} + \ frac {π} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {51} {2} .π-sin ^ {- 1} \ frac {4} {5} -16-6 [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {561} {7} -2.0437–16-6 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 80.143–2.0437–16-6 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 62.10-6 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 56.10 [/ matemáticas]

El problema ya está hecho.

Answer 8

Con mucho, la forma más fácil es usar coordenadas polares como se describe en un par de otras respuestas. A modo de comparación, aquí está la forma mucho más difícil de usar coordenadas rectangulares.

Deje que el círculo de radio [matemática] r [/ matemática] se centre en el origen. Su ecuación es [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]. La ecuación del semicírculo superior es [matemática] \ displaystyle r = \ sqrt {r ^ 2-x ^ 2} [/ matemática] y la ecuación del semicírculo inferior es [matemática] \ displaystyle r = – \ sqrt {r ^ 2-x ^ 2} [/ matemáticas]. Por lo tanto, una integral que da el área es

[math] \ displaystyle \ int _ {- r} ^ r 2 \ sqrt {r ^ 2-x ^ 2} \, dx [/ math].

Por simetría, podemos escribirlo como

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ r 4 \ sqrt {r ^ 2-x ^ 2} \, dx [/ matemáticas].

Toma un par de pasos para evaluar esta integral. Puede usar la sustitución [math] x = r \ sin \ theta [/ math], entonces [math] dx = r \ cos \ theta \, d \ theta [/ math]. Entonces la integral se convierte

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ {r \ pi / 2} 4 \ sqrt {r ^ 2-r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta} \, \ cos \ theta \, d \ theta = \ int_0r 4r \ cos ^ 2 \ theta \, d \ theta [/ math].

Hay varias formas de integrar el coseno cuadrado. Una forma es usar la fórmula trigonométrica [matemáticas] \ cos ^ 2 \ theta = \ frac12 (1+ \ cos2 \ theta) [/ matemáticas]. Nuestra integral se convierte

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ {r \ pi / 2} 2r (1+ \ cos2 \ theta) \, d \ theta = 2r \ theta + r \ sin2 \ theta \ bigg | _0 ^ {r \ pi / 2 } = \ pi r ^ 2 [/ matemáticas].

Answer 9

En este momento, puedo pensar en 2 métodos:

Método directo de ‘Área bajo la curva’:

Simplemente integrando la mitad superior de un círculo [matemática] y = \ sqrt {r ^ 2 – x ^ 2} [/ matemática], con el centro en el origen y el radio [matemática] r [/ matemática] entre [matemática] x = -r [/ matemática] y [matemática] x = [/ matemática] [matemática] r [/ matemática] y multiplicarla por [matemática] 2 [/ matemática] da el área del círculo.

[matemáticas] \ displaystyle A (r) = 2 \ int _ {- r} ^ r \ sqrt {r ^ 2-x ^ 2} dx = 4 \ int_0 ^ r \ sqrt {r ^ 2-x ^ 2} dx = \ pi r ^ 2 [/ matemáticas]

Suma de área de anillo infinitesimal:

Considere un círculo de radio [matemáticas] r [/ matemáticas]. A una distancia [matemática] x [/ matemática] del centro, considere un círculo de radio [matemática] x [/ matemática]. De manera similar, a una distancia [matemática] x + dx [/ matemática], donde [matemática] dx [/ matemática] es una distancia infinitamente pequeña con respecto a [matemática] x [/ matemática], considere otro círculo de radio [matemática] x + dx [/ matemáticas]. Ahora, la figura encerrada entre estos dos círculos es un anillo de grosor infinitesimal [math] dx [/ math]. Tiene una circunferencia de [matemáticas] 2 \ pi x [/ matemáticas]. Si cortamos el anillo, puede considerarse como un rectángulo de longitud [matemática] 2 \ pi [/ matemática] [matemática] x [/ matemática] y amplitud [matemática] dx [/ matemática]. Claramente, el área de esta tira es [matemática] 2 \ pi x dx [/ matemática]. Para obtener la suma del área de todos los anillos, podemos integrar el área de una tira entre [matemática] x = 0 [/ matemática] y [matemática] x = r [/ matemática]:

[matemáticas] \ displaystyle A (r) = \ int_0 ^ r2 \ pi xdx = \ pi r ^ 2 [/ matemáticas]

Hay otro método similar al método anterior:

Suma del área del sector infinitesimal:

Ahora, considere un sector de un círculo de radio [matemática] r [/ matemática] con ángulo central [matemática] d \ theta [/ matemática]. Debido a que el ángulo [math] d \ theta [/ math] es infinitesimalmente pequeño, el sector puede considerarse como un triángulo isósceles con la longitud del brazo [math] r [/ math]. El área de este triángulo sectorial es [matemática] \ frac {1} {2} \ r ^ 2 \ sin (d \ theta) [/ matemática]. Como [math] d \ theta [/ math] es infinitesimalmente pequeño, [math] \ si [/ math] [math] n (d \ theta) [/ math] puede aproximarse como [math] d \ theta [/ math ] Por lo tanto, el área se convierte en [matemáticas] \ frac {1} {2} \ r ^ 2 d \ theta [/ matemáticas]. La integración de esta área del sector sobre todo el círculo da el área completa del círculo:

[matemáticas] \ displaystyle A \ left (r \ right) = \ int_C ^ {} \ frac {1} {2} r ^ 2d \ theta = \ frac {1} {2} r ^ 2 \ int_C ^ {} d \ theta = \ frac {1} {2} r ^ 2 \ left (2 \ pi \ right) = \ pi r ^ 2 [/ math]

Answer 10

La idea es que puede dividir su círculo en rodajas finas, que pueden considerarse triángulos isósceles. El área del círculo se calcula como la suma de dichas áreas.

El “grosor” de cada corte viene dado por su ancho, es decir, el ángulo pequeño [matemático] d \ theta [/ matemático] que cubre en el centro del círculo.

Dado que cada corte es extremadamente delgado, la curvatura de su base se vuelve insignificante, y su área se puede calcular como si fuera un triángulo con dos lados de longitud [matemática] r [/ matemática] (el radio) que barren un ángulo [ matemáticas] d \ theta [/ matemáticas]. El área de dicho triángulo (recuerde algunos trigonometría básica) es [matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {2} r ^ 2 \ cdot {sin (d \ theta)} [/ matemáticas], que, si [matemáticas] \ theta [/ math] es muy pequeño, es aproximadamente igual a [math] \ frac {1} {2} r ^ 2 \ cdot {d \ theta} [/ math] (recuerde el límite [math] \ lim_ {x \ to {0}} \ frac {sin (x)} {x} = 1 [/ math]).

El área del círculo es, por lo tanto, la suma de todas estas pequeñas contribuciones, que es

[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ frac {1} {2} r ^ 2 \ cdot {d \ theta} = \ frac {1} {2} r ^ 2 (2 \ pi -0) = \ pi r ^ 2 [/ matemáticas]

Entonces [math] \ pi r ^ 2 [/ math] es el área total.

Answer 11

¡¡¡Absolutamente!!! Y por supuesto … ¡queremos usar polar! Supongamos que tenemos un círculo de radio R, entonces simplemente tenemos que calcular la integral:

[matemáticas] \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ int_ {0} ^ {R} r dr d \ theta [/ matemáticas]

Ahora están sucediendo muchas cosas, así que siéntete libre de preguntar si eso no tiene sentido, pero recuerda que la r adicional en la integral es nuestro factor de distorsión de cambiar al mundo polar desde el cartesiano. (Viene del jacobiano de la matriz de transformación, pero eso es para otro momento)

Bueno … ¡podemos evaluar esa integral!

Obtenemos

[matemáticas] \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ frac {1} {2} R ^ 2 d \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 \ pi \ frac {1} {2} R ^ 2 – 0 \ frac {1} {2} R ^ 2 [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ pi R ^ 2 [/ matemáticas] !!!

¡Y obtenemos lo que esperaríamos! Ahora está sucediendo bastante aquí, si desea buscar esto en línea para aclararlo, asegúrese de comprender la idea de que la integración en una región 2-d de una función F = 1 simplemente le da el área de esa región, y que cambiar de coordenadas cartesianas a polares requiere un factor adicional de r.

¡Salud!

Answer 12

Puede hacer esto muy fácilmente usando una integral polar. Un círculo de radio R está definido por la función polar r = R. El área encerrada por [math] \ theta = \ alpha [/ math] a [math] \ theta = \ beta [/ math] es la integral de [math] \ alpha [/ math] a [math] \ beta [/ matemáticas] de [matemáticas] 1/2 * r ^ 2d {\ theta} [/ matemáticas]. Para un círculo, r es una constante y puede factorizarse a partir de la integral; [matemáticas] \ alpha = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ beta = 2 {\ pi} [/ matemáticas]. [matemática] 1 / 2R ^ 2 [/ matemática] se puede sacar de la integral, y la integral de [matemática] 0 [/ matemática] a [matemática] 2 {\ pi} [/ matemática] de [matemática] d \ theta [/ math] es [math] 2 {\ pi} [/ math]. [matemáticas] 1 / 2R ^ 2 * 2 {\ pi} = {\ pi} R ^ 2 [/ matemáticas], el área de un círculo.

Answer 13

La integración le permite calcular el área bajo la curva. Entonces, todo lo que necesita hacer es calcular una integral definida de x = 3 a x = 5, y luego restar 4 (el área del triángulo que tiene una hipotenusa de P a Q).

Answer 14

Cualquier problema en la integración debe mirar

Answer 15

Puede calcular el área de todo el sector del círculo por integración, de la misma manera que derivaría el área de una fórmula circular y luego sacaría el área del triángulo.

Answer 16

* A2A

[matemáticas] \ begin {align} \ int_3 ^ 5 \ sqrt {25-x ^ 2} – (10-2x) \, \ mathrm {dx} & = \ int_3 ^ 5 \ sqrt {25-x ^ 2} \ , \ mathrm {dx} – \ int_3 ^ 5 (10-2x) \, \ mathrm {dx} \\ & = I_1-I_2 \\\ hline I_1 & = \ int_3 ^ 5 \ sqrt {25-x ^ 2} \ , \ mathrm {dx} \\\ text {Let} x = 5 \ sin \ theta & \ implica \ mathrm {dx} = 5 \ cos \ theta \, \ mathrm {d} \ theta \\ & = \ int_3 ^ 5 \ sqrt {25-25 \ sin ^ 2 \ theta} \ cdot 5 \ cos \ theta \, \ mathrm {d} \ theta \\ & = \ int_3 ^ 525 \ cos ^ 2 \ theta \, \ mathrm {d} \ theta \\ & = \ int_3 ^ 5 \ dfrac {25} 2 (1+ \ cos2 \ theta) \, \ mathrm {d} \ theta \\ & = \ dfrac {25} 2 \ theta + \ dfrac {25} 4 \ sin2 \ theta \ bigg | _3 ^ 5 \\ & = \ dfrac {25} 2 \ arcsin \ dfrac x5 + \ dfrac {25} 2 \ sin \ theta \ cos \ theta \ bigg | _3 ^ 5 \\ & = \ dfrac {25} 2 \ arcsin \ dfrac x5 + \ dfrac {25} 2 \ dfrac x5 \ dfrac {\ sqrt {25-x ^ 2}} {5} \ bigg | _3 ^ 5 \\ & = \ dfrac {25 } 2 \ arcsin \ dfrac x5 + \ dfrac x2 \ sqrt {25-x ^ 2} \ bigg | _3 ^ 5 \\ & = \ dfrac {25 \ pi} 4- \ dfrac {25} 2 \ arcsin \ dfrac35- \ dfrac32 \ cdot4 \\ & = \ dfrac {25 \ pi} 4- \ dfrac {25} 2 \ arcsin \ dfrac35-6 \\\ hline I_2 & = \ int_3 ^ 5 (10-2x) \, \ mathrm {dx} \\ & = 10x-x ^ 2 \ bigg | _3 ^ 5 \\ & = 4 \\\ hline I_1-I_2 & = \ dfrac {25 \ pi} 4- \ dfrac {25} 2 \ arcsin \ dfrac35-10 \ \ & \ approx \ boxed {1.59} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Answer 17

Lea otra rama obvia (enlace a una publicación mía del blog sobre cómo encontrar el área de un círculo por integración)