¿Se puede llenar una botella de Klein con agua? ¿En cuál de las ‘dos’ aberturas del tubo va primero el agua?

Answer 1

Como señala Richard Morris, es demasiado fácil quedar atrapado pensando en una botella de Klein a través de la imagen habitual de ella inmersa en el espacio 3D. Da una buena explicación de lo que está sucediendo, pero me sorprendió que nadie haya dado lo que, para mí, es la imagen más ilustrativa de lo que es la botella de Klein, y eso lo proporciona el siguiente diagrama:

Esto es (parte de) un mosaico del plano por cuadrados. El mosaico funciona de la siguiente manera: toma un cuadrado (denotado aquí por ‘R’) y simplemente lo traslada a la izquierda y a la derecha para obtener el mosaico en la dirección horizontal. Sin embargo, cuando coloca mosaico verticalmente, hay un giro: cuando se mueve una fila hacia abajo, gira el cuadrado alrededor del eje vertical. Esto da como resultado la imagen que he dibujado.

Afirmo que si piensas que cada cuadrado en este mosaico es el mismo cuadrado , entonces esta es exactamente la botella de Klein.

En primer lugar, ¿qué significa eso? Bueno, imagina que te mueves horizontalmente. Te mueves de una casilla a la siguiente, pero piensas en esto como si solo salieras del lado de la casilla y reaparecieras en el lado opuesto. Piense en cómo trabajó Pacman: esto es exactamente lo mismo.

Por otro lado, si te mueves verticalmente, sales de la parte inferior del cuadrado y vuelves a aparecer en la parte superior, pero vuelves como tu propia imagen especular.

Puede ver exactamente lo que sucede con cualquier camino que pueda tomar al observar este mosaico: solo trace su camino en el plano y luego doble el mosaico en un solo cuadrado nuevamente. El camino en el plano se convierte en un camino en este cuadrado.

De manera equivalente, puede pensar en esta extraña forma como un cuadrado que tiene sus bordes pegados juntos de una manera particular: los lados están pegados de la manera obvia (es por eso que las flechas apuntan en la misma dirección), mientras que la parte superior e inferior están pegados con un giro (por eso las flechas apuntan en la dirección opuesta).

Ahora, afirmé que esto es realmente lo mismo que la botella de Klein. La forma más fácil de ver esto es simplemente ver una transformación de uno a otro. Aquí está mi intento:

Para resumir lo que está sucediendo aquí: primero enroscamos el cuadrado para unir los lados. Luego tenemos que cuidar la parte superior e inferior, por lo que comenzamos a doblar, pero vemos que no podemos pegarnos de la manera obvia (lo que nos daría un toro) porque la orientación es incorrecta. Para solucionar esto, tenemos que introducir una auto-intersección, que nos permite pegar en la dirección correcta.

Así que ahora, pensando en una botella de Klein no como una superficie en 3D (que realmente no es), sino como un mosaico del avión, ¡vemos que no tiene ninguna abertura! La noción de que debe tener un volumen interno es una ilusión que proviene de la forma particular en que lo dibujamos en el espacio 3D, lo cual no es realmente correcto (debido a la auto-intersección).

Podría contrarrestar que podría intentar dibujar la botella de Klein en un espacio dimensional superior donde no hay auto intersecciones, y estoy de acuerdo en que esto es posible; sin embargo, debido a que la botella de Klein no es orientable, no puede obtener un volumen interno bien definido en ese caso tampoco.

Answer 2

Es bastante fácil quedarse atascado en un modelo particular de una botella de Klein. La imagen tradicional es solo una inmersión de un objeto de 4 dimensiones, hay muchas otras inmersiones posibles. Particularmente me gusta uno en el que haces un tubo con una sección transversal de figura ocho y lo unes de extremo a extremo con un solo giro.

Aquí hay otra vista con una sección cortada y una línea marcada en azul para mostrar cómo está torcida

Aquí hay una vista que muestra cómo la figura contiene una tira de Möbius.

La superficie completa se puede construir pegando dos tiras de Möbius juntas.

Una botella de Klein es cualquier forma que tenga un tipo topológico particular. Una propiedad importante es que no es orientable, lo que significa que no se puede describir de manera significativa como tener un interior y un exterior.

Hay un problema en que cualquier modelo en 3D debe tener una auto intersección. (Técnicamente, esto hace que el objeto sea una inmersión , que tiene auto-intersecciones en lugar de una incrustación que no). Un modelo de la forma en 4D no necesita tener una auto-intersección para que pueda incrustar una botella de Klein en 4D.

El modelo tradicional tiene una auto-intersección donde el cuello pasa por uno de los lados. Un modelo adecuado llenará el interior de esta intersección con un disco de vidrio. Esto significa que en realidad no es posible llenar una inmersión en 3D de la botella ya que el disco bloquea el flujo por el cuello.

Mucha gente ha hecho “botellas de Klein” sin el disco. Estas no son realmente botellas de Klein, sino una “botella de Klein con un agujero”, un objeto completamente diferente.

Podemos hacer lo mismo con el modelo de figura ocho. La inmersión tiene un tubo que se enrolla y se une. En realidad puedes llenar este tubo. Si cortas un agujero, puedes llenar el tubo.

Entonces la respuesta a su pregunta podría ser “Puede llenar el objeto a través del agujero”.

Answer 3

Esto es lo que sucede cuando intenta llenar una botella de Klein con agua:

Tenga en cuenta las líneas de graduación cuidadosamente calibradas que indican el volumen de líquido dentro de la botella de Klein.

(Curiosamente, a pesar del hecho de que la botella de Klein en la imagen tiene un volumen cero, se puede usar para obtener una idea de los cambios en la presión barométrica, como se puede ver en el líquido en el mango).

La foto es de Acme Klein Bottle. Hace algún tiempo pedí uno, y vino con una nota de advertencia: “No debe usarse como dispositivo de flotación personal”. En otras palabras, también podemos esperar algunas dificultades para llenar la botella de Klein con aire.

Answer 4

No soy matemático, pero finalmente descubrí la aparente paradoja al leer estas respuestas. Puede llenar una ‘botella de Klein sumergida’ con agua (vea la respuesta de Richard Morris), pero no puede llenar una verdadera botella de Klein. Aquí hay una imagen y un video del ejemplo inmerso (es decir, ¡trampa!) …

https://vimeo.com/20390916

Answer 5

No estoy seguro de a qué “aberturas” de tubo se refiere. La botella de Klein es una variedad bidimensional no orientable. Es una superficie que ha sido mal llamada “botella”.

No solo eso, sino que la superficie tiene solo un lado (al igual que una tira de Möbius), por lo que ciertamente no encierra ningún volumen en 3 espacios (o cualquier espacio en el que esté incrustado).

De hecho, la botella de Klein no puede integrarse en 3 espacios, por lo que la representación típica en 2-d de un objeto en 3-d se cruza consigo misma, no es una propiedad válida de una botella de Klein “real”.

Puede incrustar una botella de Klein en 4 espacios, pero es “obvio” que no puede llenarla con 4 líquidos. Al igual que es obvio que no se puede llenar una tira de Möbius con un 3 líquido regular.

Answer 6

Es importante tobrealoE una botella de klien no tiene una forma específica. Es una topología.

Para ver la diferencia, mira una esfera. Como forma específica, es convexa y no puede retener agua. Pero como topología, es más como una carcasa de goma. Se puede estirar y doblar en otras formas sin dejar de ser la misma cosa. Una dona sería una topología diferente. No importa cómo estires y tuerzas una esfera, no puede ser una rosquilla.

Sin embargo, una copa y una esfera son la misma topología. Dobla la mitad superior de la esfera hacia abajo hacia abajo para formar un tazón. Luego tira de los lados hacia arriba e incluso entonces, y tienes un vaso. Un vaso puede contener agua.
Entonces, mientras que la forma “esfera” no puede retener agua en su superficie, la topología de una esfera sí.
Del mismo modo, si una topología como una botella de Klien contiene una sangría donde el agua puede estar contenida depende de la forma específica de la misma.

Una pregunta diferente es si la topología puede contener agua en su interior. O dicho de otra manera, ya sea que tenga un volumen interior. Una esfera lo hace. Una dona lo hace. Un plano infinito no. Una botella de klien no.
Puedes tener una botella en forma de esfera con agua adentro, y no importa cómo la agites, el agua no puede escapar. No puedes hacer lo mismo con una botella de klien.
En el mejor de los casos, una botella de klien puede contener agua como una taza, pero no como una botella

Answer 7

Si puede encontrar un poco de agua en cuatro dimensiones, podría sumergir todo en ella, de modo que la botella de Klein estaría llena de lo que fuera que haya, su agua en cuatro dimensiones.

Sin embargo, no creo que pueda flotar con seguridad la botella, se volcaría y se hundiría.

Sin embargo, debería ser bastante fácil de colocar en relación con un barco 4. Incluso uno mucho más grande que la botella.

Answer 8

La botella de Klein carece de un interior bien definido y, por lo tanto, tiene un volumen cero, por lo que cualquier pregunta sobre “llenar” la botella de Klein no tiene sentido.