Sea [math] d [/ math] la línea recta dada que los círculos deben tocar, [math] m [/ math] – la línea recta dada en la que deben ubicarse los centros de los círculos y [math] F [/ matemáticas]: el punto dado a través del cual deben pasar los círculos. Todos los objetos dados son azules.
Consideramos dos casos: 1) [matemática] d [/ matemática] y [matemática] m [/ matemática] no son paralelas y 2) [matemática] d [/ matemática] y [matemática] m [/ matemática] son paralelas.
1) [matemática] d [/ matemática] y [matemática] m [/ matemática] no son paralelas – en ese caso el punto [matemático] O [/ matemático] – el punto donde [matemático] d [/ matemático] y [ matemática] m [/ matemática] intersección existe. Elija un punto arbitrario [matemática] P [/ matemática] en [matemática] m [/ matemática] y construya una [perpendicular [matemática] p [/ matemática] a [matemática] d [/ matemática] a [matemática] P [/ matemática ] para obtener la proyección ortogonal de [math] P [/ math] en [math] d [/ math], asígnele el nombre [math] P_d [/ math] (también podríamos hacer lo contrario: elija un punto en [math] ] d [/ math] y ubique su imagen en [math] m [/ math] – realmente no importa). Construya el círculo [math] w [/ math] con el centro en [math] P [/ math] y el radio [math] PP_d [/ math]:
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Ahora tratamos la línea recta dada [matemática] m [/ matemática] como una bisectriz angular del ángulo con el vértice en [matemática] O [/ matemática] y con [matemática] d [/ matemática] como una de sus dos patas (no se muestra la segunda pata para evitar el desorden). En consecuencia, el problema ahora se transforma en: construir un círculo inscrito en un ángulo dado y pasar por el punto dado.
Considere la homotecia del plano dado con respecto al centro [matemática] O [/ matemática] – si construimos una línea recta que pase por [matemática] O [/ matemática] y [matemática] F [/ matemática] entonces debajo de esa homotetería nuestro círculo arbitrario [matemática] w [/ matemática] se llevará a dos círculos de solución cuyas circunferencias contendrán el punto dado [matemática] F [/ matemática] que puede interpretarse como la imagen de los puntos [matemática] A [/ math] y [math] B [/ math]: los dos puntos que son el subproducto de la intersección de la circunferencia de [math] w [/ math] con la línea recta que pasa por [math] O [/ math ] y [matemáticas] F [/ matemáticas].
Construya los segmentos de línea [matemática] PA [/ matemática] y [matemática] PB [/ matemática]. Construya la línea recta [matemática] l_1 [/ matemática] y [matemática] l_2 [/ matemática] a través del punto dado [matemática] F [/ matemática] paralela a [matemática] PB [/ matemática] y [matemática] PA [/ matemática] correspondientemente ([matemática] l_1 \; || \; PB, l_2 \; || \; PA [/ matemática]).
Las intersecciones de [matemática] l_1 [/ matemática] y [matemática] l_2 [/ matemática] con [matemática] m [/ matemática] ubican los centros de los círculos [matemática] c_1 [/ matemática] y [matemática] c_2 [/ matemática] solicitada – [matemática] O_1 [/ matemática] y [matemática] O_2 [/ matemática] correspondientemente.
2) [math] d [/ math] y [math] m [/ math] son paralelas. En ese caso, los radios de ambos círculos son fijos y son iguales a [math] PP_d = r [/ math]:
Aquí nuevamente elegimos un punto arbitrario [matemática] P [/ matemática] en [matemática] m [/ matemática], construimos su imagen ortogonal en [matemática] d [/ matemática] y así sucesivamente.
Como los radios de los círculos buscados deben ser [matemática] r [/ matemática], construimos un círculo [matemática] w ‘[/ matemática] con el centro en el punto dado [matemática] F [/ matemática] y el radio [matemáticas] r [/ matemáticas]: esto está permitido gracias a la Proposición 2 del Libro 1 de “Elementos” de Euclides.
La circunferencia de [math] w ‘[/ math] es el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes del punto dado [math] F [/ math], incluidos los puntos de su intersección con [math] m [/ math] – [ matemáticas] O_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] O_2 [/ matemáticas].
(tenga en cuenta que este problema puede surgir cuando se requiere encontrar un punto de intersección de una parábola dada implícitamente a través de su foco y directriz (no como un gráfico) con una línea recta dada)
