Las longitudes laterales de un cuadrilátero, tomadas en un orden, están en GP y se puede inscribir un círculo en el cuadrilátero. ¿Cómo demuestras que el cuadrilátero es un rombo?

// hecho utilizado
// la longitud de las tangentes desde el punto externo es igual

entonces los lados son a + b, b + c, c + d, d + a

como están en GP así


multiplicación cruzada

bc + bd + cc + cd = ad + aa + bd + ab
// bd cancela

c (b + d) + cc = aa + a (b + d)

cc – aa = (b + d) (a – c)

(c – a) (c + a) = (b + d) (a – c)
(c -a) (c + a) – (b + d) (a – c) = 0

(c – a) (a + b + c + d) = 0

entonces ca = 0 como la suma de lados no puede ser cero

entonces c = a

entonces los lados se convierten en a + b, b + a, c + d, d + c

entonces podemos decir que la secuencia es GP con relación común 1

entonces todos los lados son iguales

así que es un rombo