Un elipsoide en N dimensiones puede expresarse como una forma cuadrática. Sin pérdida de generalidad, suponemos que el elipsoide está centrado en el origen. En este caso tenemos la ecuación:
[matemáticas]
x’Ax = c, x \ in {\ bf {R}} ^ N
[/matemáticas]
Donde A es N por N simétrico definido positivo y ‘denota transposición, y c es un escalar dado.
Una sección transversal del elipsoide, denotada por E, es proporcionada por una traducción afín parametrizada por T y b de la siguiente manera:
[matemáticas]
E = [y: y’Ay = c, c> 0, y \ in {\ bf {R}} ^ N, \\
y \ equiv Tx + b, T \ in {\ bf {R}} ^ {N x M}, b \ in {\ bf {R}} ^ N x \ in {\ bf {R}} ^ M] \ \ E = [x: x’T’ATx + 2x’T’b = z], \\ z \ equiv c + b’Ab \ geq 0.
[/matemáticas]
Podemos reescribir E completando el cuadrado y cambiando las variables como:
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[matemáticas]
E = [x: (w + x) ‘Q (x + w) = q] \\ Q \ equiv T’AT, w \ equiv 2b’T, q = z- || w || ^ 2.
[/matemáticas]
Hay dos casos, o no hay solución (cuando el lado derecho es negativo) o la solución es una elipse. Geométricamente, el caso “sin solución” corresponde a un segmento que no contiene la elipse inicial. Esto nos dice explícitamente qué secciones transversales intersecan de hecho la elipse.