Si miramos el icosaedro regular encontramos la fórmula
Si la longitud del borde de un icosaedro regular es a , entonces el radio de una esfera inscrita es
[matemáticas] r = \ frac {\ varphi ^ 2 a} {2 \ sqrt {3}} = \ frac {\ sqrt {3}} {12} \ left (3+ \ sqrt {5} \ right) a \ aproximadamente 0.7557613141 \ cdot a [/ math]
Entonces, para una longitud de borde de 4 cm, tenemos un radio de 3.023045256 cm. Ahora el volumen de una esfera con radio r viene dado por [math] \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3 [/ math] y para nuestra esfera es [math] 115.7237652 \ mathbf {cm} ^ 3 [/ matemáticas].
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La esfera de inscripción es la esfera más grande contenida dentro del icosaedro, también podemos calcular la esfera circunscrita, que es la esfera más pequeña que contiene el icosaedro, tiene un radio de 3.804226065 cm y un volumen [matemático] 230.6150043 [/ matemático].
Entonces, ¿de dónde viene esta fórmula?
Derivar la fórmula para el radio de esfera inscrita y circunscrita o polígonos regulares es un poco complicado de trigonometría. El octoedro es el más fácil de hacer. Aquí una sección transversal es un cuadrado. La diagonal del cuadrado tiene una longitud [matemática] \ sqrt {2} a [/ matemática] que hace que el radio de la esfera circunscrita [matemática] \ frac {\ sqrt {2}} {2} a [/ matemática]. Esto también puede darnos el radio medio, el radio de la esfera que toca el centro de cada borde, que es [matemática] \ frac {a} {2} [/ matemática]. Para obtener la inscripción, use una sección transversal lateral que tiene forma de diamante.
El ancho es ay la altura es [math] \ sqrt {2} a [/ math]. La longitud de un lado inclinado es la altura de una de las caras triangulares [matemáticas] \ frac {\ sqrt {3}} {2} a [/ matemáticas]. Para encontrar d la distancia desde el punto más cercano al origen, podemos usar triángulos similares a
[matemáticas] \ frac {d} {\ frac {\ sqrt {2}} {2} a} = \ frac {\ frac {1} {2} a} {\ frac {\ sqrt {3}} {2} a} [/ matemáticas]
entonces
[matemáticas] d = \ frac {
\ frac {1} {2} a \ frac {\ sqrt {2}} {2} a} {\ frac {\ sqrt {3}} {2} a} = \ frac {\ sqrt {6}} {2 } a [/ matemáticas]
El radio de la esfera inscrita.
El cálculo de para el icosaedro sigue líneas similares pero mucho más complicadas. Tiende a obtener la proporción áurea que aparece en cualquier cosa que tenga pentágonos o simetría de cinco veces. El icosaedro es dual a un dodecaedro que tiene caras pentagonales, por lo que esperaríamos ver la proporción áurea en las diversas fórmulas. Puede encontrar el funcionamiento del cálculo en http://www.kjmaclean.com/Geometr…