No está del todo claro qué significa “igualmente espaciado”, pero sigamos con nuestra intuición para responder esta pregunta.
No puede hacerlo para que 5 puedan estar igualmente espaciados. Lo mejor que puede hacer es colocar dos directamente opuestos entre sí y los otros tres igualmente espaciados en el plano perpendicular a esos dos. Esa es la geometría del pentafluoruro de nitrógeno.
Valores de [matemáticas] n [/ matemáticas] que provienen de poliedros regulares.
[matemáticas] n = 4 [/ matemáticas]. Simetría tetraédrica.
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[matemáticas] n = 6 [/ matemáticas]. Caras de un cubo, o vértices de un octaedro.
[matemáticas] n = 8 [/ matemáticas]. Caras de un octaedro, o vértices de un cubo.
[matemáticas] n = 12 [/ matemáticas]. Caras de un dodecaedro, o vértices de un icosaedro.
[matemáticas] n = 20 [/ matemáticas]. Caras de un icosaedro, o vértices de un dodecaedro.
Hay otros sólidos que no son tan regulares, pero tienen la propiedad de que hay algún tipo de espacio igual. Para cualquier número par [matemáticas] 2n [/ matemáticas] puede encontrar un
Trapezoedro con caras [matemáticas] 2n [/ matemáticas] donde los centros de las caras están a la misma distancia de los centros de todas las caras adyacentes. (El centro de una cara es el punto en la cara cuya línea al centro del sólido es perpendicular a la cara).
El trapezoedro pentagonal tiene 10 caras, y si tomas la que obtienes al tapar dos caras opuestas de un dodecaedro, obtendrás la correcta.
Dodecaedro: Después de tapar las caras superior e inferior para obtener un trapezoedro pentagonal:
Entonces, esencialmente solo dejamos caer 2 de las caras de un dodecaedro. Si solo hubiéramos dejado caer uno, tendríamos una solución para [math] n = 11 [/ math]. La figura no es simétrica, pero ¿estaba implícito en nuestra comprensión intuitiva de “igualmente espaciado”? Para responder completamente a esta pregunta, tendrá que llegar a una definición precisa de lo que quiere decir con espacios iguales. Diferentes definiciones conducirán a diferentes respuestas.