Dado un cubo y un cilindro con la misma superficie, ¿cuál tiene el mayor volumen?

Answer 1

Ido Levin tiene razón, el volumen de un cilindro se basa en la relación entre su radio y altura.
Lo prepararé para ti algebraicamente, ya que Ido no lo hizo, y veremos si eso importa.

[matemáticas] S_ {cubo} = 6x ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] S_ {cyl. caras} = 2 \ pi r ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] S_ {cyl. total} = 2 \ pi rh + 2 \ pi r ^ 2 [/ matemáticas]
Ahora resolvamos algunas cosas.
[matemáticas] S_ {cubo} = S_ {cyl} [/ matemáticas]
[matemáticas] 6x ^ 2 = 2 \ pi rh + 2 \ pi r ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] 6x ^ 2 = 2 \ pi [rh + r ^ 2] [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2 = \ frac {\ pi [rh + r ^ 2]} {3} [/ matemáticas]
[matemáticas] x = \ sqrt {\ frac {\ pi [rh + r ^ 2]} {3}} [/ matemáticas]

Ahora hagamos volumen.
[matemáticas] V_ {cubo} = x ^ 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] V_ {cyl} = \ pi r ^ 2h [/ matemáticas]
[matemáticas] V_ {cubo} = x ^ 3 = [\ frac {\ pi [rh + r ^ 2]} {3}] ^ {\ frac {3} {2}} [/ matemáticas]
Me doy cuenta de que esto puede ser muy difícil de visualizar, ya que es mayor, pero vamos a elegirlo.
Estamos comparando [matemáticas] [\ frac {\ pi [rh + r ^ 2]} {3}] ^ {\ frac {3} {2}} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ pi r ^ 2h [ /matemáticas].
En [matemáticas] [\ frac {\ pi [rh + r ^ 2]} {3}] ^ {\ frac {3} {2}} [/ matemáticas], comencemos a aproximarnos.
[matemáticas] [\ frac {\ pi [rh + r ^ 2]} {3}] ^ {\ frac {3} {2}} \ aprox [\ frac {3 [rh + r ^ 2]} {3} ] ^ {\ frac {3} {2}} [/ matemáticas]
[matemáticas]… \ aprox [rh + r ^ 2] ^ {\ frac {3} {2}} [/ matemáticas]
Ahora es un poco más intuitivo.
Date cuenta de que cualquier cosa a la potencia de 1.5 será ligeramente mayor, pero no tanto como si hubiera sido cuadrada.
Además, el comportamiento final de este polinomio [matemático] r ^ 2 + rh [/ matemático] convergerá a [matemático] r ^ 2 [/ matemático] para que podamos reducirlo un poco más, diciendo que:
[matemáticas] \ lim_ {r \ to \ infty} [rh + r ^ 2] ^ {\ frac {3} {2}} = [r ^ 2] ^ {\ frac {3} {2}} = r ^ 3 [/ matemáticas]
Eso es mayor que [math] \ pi r ^ 2h [/ math] para la mayoría de [math] r [/ math].

Tenga en cuenta que esto es muy aproximado y algo que haría en su cabeza cuando se le ocurriera esta pregunta. En cualquier caso, el volumen de un cubo será mayor para algunos [math] r [/ math] y estará alrededor del valor que encontraría al resolver [math] [\ frac {\ pi [rh + r ^ 2] } {3}] ^ {\ frac {3} {2}} = \ pi r ^ 2h [/ math].

Sin embargo, ¿cómo saber cuándo esto es cierto? ¿Para qué valores de r y h se cumple esto? Eso suena como un gráfico 3D, que no quiero hacer.
Sin embargo, si consideramos que h es constante y encontramos los valores de r para los que la expresión anterior es verdadera, podemos descubrir una relación.

Primero configuremos nuestra calculadora gráfica TI.
Y1 es el volumen del cilindro e Y2 es el volumen del cubo. Y3 compara los dos, y configuré el volumen del cubo como el primero porque predijimos que sería mayor para la mayoría de los r.
Configuré H = 1 y saqué un gráfico.
Entonces tenemos para h = 1, Vcube> Vcyl para r> 1.14 (Sí, eso es Y3)
Probemos h = 5
Ahora tenemos dos ceros, uno a aproximadamente r = 1 y otro a r = 5.697, por lo que depende completamente de la altura y el radio del cilindro, pero me parece que para r >> h, Vcube> Vcyl

Answer 2

Lo que señalan estas respuestas es que hay diferentes cilindros posibles que tienen la misma área de superficie, pero solo un cubo. Las fórmulas son interesantes y demuestran el problema, pero debe dibujar o imaginar en su cabeza las posibles formas en que podría verse el cilindro. Podría ser un cilindro que se aproxima aproximadamente a las proporciones de un cubo, similar en altura y diámetro, pero también podría reducirse en diámetro a una forma más parecida a una varilla, larga y delgada. Puede ser muy largo y delgado y aún así tener la misma área de superficie que el cilindro en forma de cubo, y cuanto más largo y delgado sea, menor será su volumen. Del mismo modo, podría reducirse en altura y convertirse en un disco. El diámetro tendría que aumentar para mantener la misma área de superficie, pero a medida que se vuelve más y más delgado, como un disco LP, menor será su volumen. ¿Existe una proporción para el cilindro en la cual el volumen del cilindro excederá el del cubo? Las otras respuestas dicen que sí. Ankit Asher prueba una posibilidad y muestra que un tipo de cilindro con forma de cubo tendrá un volumen mayor que su cubo correspondiente con la misma área de superficie.

Pero la respuesta a su pregunta como se indica es, depende.

Answer 3

Un cubo con un área de superficie S está bien definido (como los bordes, a, satisface [matemática] S = 6a ^ 2 [/ matemática]), pero un cilindro no.

El área de superficie de un cilindro con altura [matemática] h [/ matemática] y radio [matemática] r [/ matemática] es [matemática] S = 2 \ pi r ^ 2 + 2 \ pi rh [/ matemática] y entonces puede tener un número infinito de pares [matemática] (r, h) [/ matemática] (y, por lo tanto, un número infinito de cilindros) que satisfarán esta condición.

Además, si mis cálculos son correctos (y dígame si no lo son), entonces el cilindro con área de superficie S y volumen máximo tiene [matemáticas] r = \ frac {\ sqrt {S}} {\ sqrt {6 \ pi }} [/ math] que da un volumen de [math] V = \ frac {S ^ {\ frac {3} {2}}} {3 \ sqrt {6 \ pi}} \ approx \ frac {S ^ { \ frac {3} {2}}} {13.02} [/ math] mientras que para el cubo [math] V = \ frac {S ^ {\ frac {3} {2}}} {6 \ sqrt {6}} \ approx \ frac {S ^ {\ frac {3} {2}}} {14.70} [/ math] y algunos cilindros pueden tener un volumen mayor que el cubo (por supuesto, a medida que h crece lo suficiente, el volumen comienza a disminuir hacia 0).

Por lo tanto, la pregunta no está bien definida.

Answer 4

TL-DR

El cilindro ‘óptimo’ es [matemático] \ frac {2} {\ sqrt {\ pi}} = 1.1284 .. [/ matemático] veces más grande que un cubo.

Explicación

Sin pérdida de generalidad, asuma un cubo unitario: es decir, el lado de la unidad, el volumen de la unidad, entonces con un área de superficie S = 6.

El área de superficie de un cilindro con altura [matemática] h [/ matemática] y radio [matemática] r [/ matemática] es [matemática] S = 2 \ pi r ^ 2 + 2 \ pi rh [/ matemática].

Entonces, para [matemáticas] S = 6 [/ matemáticas] obtenemos:

[matemáticas] \ displaystyle 2 \ pi r ^ 2 + 2 \ pi rh = 6 [/ matemáticas].

[matemáticas] \ displaystyle r ^ 2 + hr – \ frac {3} {\ pi} = 0 [/ matemáticas].

[matemáticas] \ displaystyle r = \ frac {\ sqrt {(h ^ 2 + \ frac {12} {\ pi})} – h)} {2} [/ matemáticas]

Que expresa el radio del cilindro en función de su altura.

Ahora el volumen cilíndrico es:

[matemáticas] \ displaystyle V _ {\ text {cyl}} = h \ pi r ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle V _ {\ text {cyl}} = h \ pi {\ left (\ frac {\ sqrt {(h ^ 2 + \ frac {12} {\ pi})} – h)} {2} \ right)} ^ 2 [/ math]

Que se puede simplificar para:

[matemáticas] \ displaystyle V _ {\ text {cyl}} = h \ left (\ frac {\ pi} {2} h ^ 2 – \ frac {\ pi} {2} h \ sqrt {h ^ 2 + \ frac {12} {pi}} + 3 \ derecha) [/ matemáticas]

Esta relación entre el volumen cilíndrico y la altura se representa a continuación:

La línea curva representa el volumen del cilindro, para una altura variable (eje horizontal). El volumen máximo es cuando la altura es [matemática] \ frac {2} {\ sqrt {\ pi}} [/ matemática] [matemática] [/ matemática] La línea [matemática] V = 1 [/ matemática] representa el volumen del cubo

Soluciones

Utilicé Wolfram para encontrar las alturas para las cuales los volúmenes son iguales:

h * (pi / 2 * h ^ 2 – pi / 2 * h * sqrt (h ^ 2 + 12 / pi) + 3) – 1 = 0 – Wolfram | Alpha

Conclusión

La respuesta depende de la altura del cilindro:

• Si la altura cilíndrica es comparable a la altura de los cubos, el volumen del cilindro es mayor, debido a su forma redonda.
• Sin embargo, el cilindro no debe ser demasiado corto (h <0.62587) o demasiado largo (h> 1.98236) de lo contrario, el volumen cúbico será mayor.

PD: la lata de sopa óptima

Concluyo con el siguiente resultado notable:

[matemáticas] \ displaystyle \ color {azul} {\ text {Vol} _ {\ text {cyl}} ^ {\ text {max}} = \ text {diam} _ {\ text {cyl}} ^ {\ text {max}} = \ text {height} _ {\ text {cyl}} ^ {\ text {max}} = \ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} [/ math]

Ahora ya sabe por qué el diámetro de muchas latas de sopa (baratas) es igual a su altura.

Answer 5

Supongamos que el área de superficie es x unidades cuadradas.

Para un cubo, área de superficie = (lado) x 6

Por lo tanto, cada lado del cubo = x / 6 unidades

Por lo tanto, el volumen de este cubo = ( x / 6) * (x / 6) * (x / 6)
= 0.004629 * (x ^ 3)

Ahora, para el cilindro, supongamos que el diámetro es igual a la altura (ya que hay dos incógnitas pero solo una condición conocida)

Por lo tanto, el área de superficie para el cilindro = 2 * (0.7854d ^ 2) * (3.1416d ^ 2)

Igualando esto a x ,
d = 0.45x ( aprox )

Y su volumen = (0.7854d ^ 3)
= 0.071 * (x ^ 3)

Por lo tanto, para responder a su pregunta, el cilindro definitivamente tendrá un mayor volumen que el cubo.