¿Cuál es el mayor número de puntos de intersección de 8 líneas rectas y cuatro círculos?

Answer 1

Cada par de líneas puede en el máximo intersectarse en un punto. Por lo tanto, si tiene n líneas, puede haber pares nC2 cada uno con 1 intersección. Entonces las intersecciones nC2.

De manera similar, para cada par de círculo, en el punto máximo, se cruzan en 2 puntos. Por lo tanto, si tiene m círculos, puede haber pares de círculos mC2, cada uno con 2 intersecciones. Entonces el número total de intersecciones será 2 * mC2.

Además, una línea y un círculo pueden cruzarse en 2 puntos (como máximo). Por lo tanto, si hay n líneas y m círculos, puede haber n * m combinaciones de líneas y círculos, cada una con 2 intersecciones. Por lo tanto, el número total de intersecciones será 2 * m * n.

Por lo tanto, la fórmula general para el número máximo de intersecciones de n líneas y m círculos es

nC2 + 2 * (mC2) + 2 * m * n

Entonces, el número total de intersecciones en este caso será 8C2 + 2 * (4C2) + 2 * 4 * 8 = 104

Answer 2

Hay varias preguntas y respuestas con un número variable de círculos y líneas, pero aparentemente todas las respuestas no muestran que se pueda alcanzar el máximo. Respondo la pregunta genérica con n círculos ym líneas que muestran cómo dibujar una configuración con el número máximo de intersecciones.

Por supuesto, todos los círculos y líneas deben ser diferentes, ya que dos círculos o líneas iguales se cuentan una vez. Algunos hechos:

• dos círculos con el mismo radio se cruzan exactamente dos veces si tienen un punto interior en común (si tienen el mismo radio, no pueden tener el mismo centro).
• dos líneas se cruzan exactamente una vez a menos que sean paralelas.
• un círculo y una línea que pasa por un punto interior al círculo se cruza con el círculo exactamente dos veces.

El problema es mostrar cómo podemos elegir n círculos ym líneas de una manera que garantice que los puntos de intersección sean todos diferentes (y para simplificar, tomaremos todos los círculos de radio 3). Para simplificar aún más, suponga que n = m .

Tome ahora un círculo A de radio 1. En este círculo, tomamos un arco pequeño, (digamos de longitud 0.1 o 6 grados), y encontramos en él n puntos diferentes.

Desde cada uno de estos puntos P, tome el círculo que tiene el centro en P y la línea tangente a A. Todas las líneas se cruzan en puntos lejanos, aproximadamente en la dirección de la sección del arco, mientras que cada par de círculos se intersecará en dos puntos. , en direcciones opuestas, en el eje del segmento que une los dos centros (cada círculo contiene el centro del otro, la distancia es menor que el radio). Dos puntos de intersección pueden estar en la misma línea, pero en una posición diferente en la línea ( prueba omitida, el punto clave es que cuanto más lejos están los centros, más cerca de su punto medio están las intersecciones; pero también se puede elegir los puntos para asegurarse que esto nunca sucede: básicamente, cada vez que uno elige un punto, solo se debe evitar un número finito de puntos ).

La elección de un arco pequeño es necesaria para la prueba (si es un semicírculo o más, algunas líneas pueden ser paralelas) y es útil para visualizar la construcción: puede ver cuatro nubes de puntos separadas, dos lejos en la dirección aproximada del arco, dos cerca en lados opuestos del arco.

Answer 3

Si la pregunta se hace en una entrevista, lo que significa que quieren una respuesta rápida
En ese caso
la respuesta es infinita
Porque, si se imponen dos líneas o dos círculos entre sí, obtenemos un número infinito de puntos de intersección

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En otro caso,
Un círculo puede cruzarse con otro círculo en un máximo de 2 puntos
Un círculo y una línea pueden cruzarse en un máximo de 2 puntos
Dos líneas pueden cruzarse entre sí en un máximo de 1 punto

Ahora,
Para que cuatro círculos se crucen en los puntos máximos
arreglo debería ser así

Cuenta: 6 + 4 + 2 = 12

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Para que 8 líneas se crucen en puntos máximos
arreglo debería ser así
Cuenta: 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28

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Cualquier línea que pase del círculo se cruzará en dos puntos.

Para pasar de varios círculos, la línea debe pasar desde el área de intersección de los círculos.
Ahora poniendo nuestros arreglos de línea en esta área
Se verá así

Cuenta: 8 * 8 = 64

Total: 12 +28 +64 = 104

Answer 4

1) línea e intersección de línea.
Se puede hacer en 8c2
formas
8 * 7/2 = 28

2) círculo e intersección circular.
Se puede colocar en 4c2 * 2 formas
(4 * 3/2) * 2 = 12

3) intersección de línea y círculo.
(No. de línea * no. De círculo) * 2
8 * 4 * 2
64

Total 28 + 12 + 64 = 104 formas

O

m líneas yn círculos tienen como máximo mC2 + nC2 * 2 + 2mn puntos comunes.