Entiendo que los vectores tangentes se encuentran en espacios tangentes separados según el punto en el que son tangentes a un colector, pero ¿qué pasa con los vectores que se transportan en paralelo?

Answer 1

Mientras que los espacios tangentes [matemática] T_p M [/ matemática] son ​​todos espacios vectoriales abstractos distintos, si [matemática] M [/ matemática] tiene dimensión [matemática] n [/ matemática] entonces todos son isomorfos a [matemática] \ R ^ n [/ math], aunque a priori no haya isomorfismo “canónico” [math] T_p M \ cong \ R ^ n [/ math]. En una variedad riemanniana, el transporte paralelo brinda una forma de asociarse a una curva [matemática] \ gamma (t) \ subconjunto M [/ matemática] en los múltiples isomorfismos de todos los espacios tangentes a lo largo de la curva:

[matemáticas] f_t: T _ {\ gamma (0)} M \ a T _ {\ gamma (t)} M [/ matemáticas].

Por lo tanto, un vector [math] v [/ math] en el espacio tangente en el punto [math] \ gamma (0) [/ math] puede transportarse en paralelo a un vector [math] f_t (v) [/ math] en el espacio tangente en [math] \ gamma (t) [/ math].

Tenga en cuenta que esta forma de identificar dos espacios tangentes en puntos diferentes es muy no canónica. Primero, depende de la elección de una métrica riemanniana. En segundo lugar, puede depender de la ruta particular elegida para unir los puntos.