Si interpretamos los “métodos geométricos” como lo hicieron los griegos hace unos miles de años, es decir, construcciones con una brújula y una regla, entonces se puede dar una respuesta precisa utilizando la teoría de los campos.
Antes de dar la respuesta, permítanme enfatizar que no hay una ley de la naturaleza que diga que los bordes rectos y las brújulas son las únicas cosas que califican como “geométricas”. Hay varios otros dispositivos geométricos que nos permiten hacer mucho más, como Neusis u Origami (plegado de papel). Es tradicional centrarse en las construcciones de brújula y de línea recta porque los griegos los amaban mucho, y felizmente, la teoría resultante es hermosa e interesante.
Entonces, primero, ¿qué significa “construir un número”? Comenzamos con dos puntos en el plano, y la distancia entre ellos se considera 1 unidad de longitud. Luego realizamos una secuencia (finita) de operaciones con un borde recto (regla sin marcar) y una brújula, donde cada operación nos permite crear nuevos puntos a partir de la intersección de dos líneas, dos círculos o una línea y un círculo. Cada línea que usemos debe pasar por dos puntos que ya hemos construido, y cada círculo debe tener un punto como su centro y pasar por otro.
Finalmente, si logramos construir dos puntos a una distancia [matemática] x [/ matemática] entre sí, entonces decimos que [matemática] x [/ matemática] es constructible.
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Entonces, los números construibles son precisamente aquellos números que puedes expresar usando enteros, las cuatro operaciones aritméticas y la extracción de raíces cuadradas.
Por ejemplo, [math] \ frac {1+ \ sqrt {7- \ sqrt {23}}} {2-6 \ sqrt {7}} [/ math] es un número construible. También lo son la proporción áurea, [matemática] \ cos (\ pi / 6) [/ matemática] y las coordenadas de un 257-gon regular de longitud lateral 1.
Por otro lado, estos números no son construibles: [matemáticas] \ sqrt [3] {2}, \ cos (\ pi / 18), \ pi, e [/ matemáticas] y la mayoría de las coordenadas de un 23- gon
Entre otras cosas, estas afirmaciones prueban que no puedes doblar el cubo, triseccionar ningún ángulo o cuadrar el círculo.
Para probar todo lo que acabo de decir, debes hacer lo siguiente.
1) Observe que las construcciones básicas de borde recto y brújula nos permiten sumar, restar, multiplicar y dividir, así como extraer una raíz cuadrada, pero nada más. Esto no es difícil una vez que introduce coordenadas y escribe las ecuaciones para las intersecciones de líneas y círculos.
2) Concluya que todos los números que tienen expresiones radicales usando solo raíces cuadradas son construibles. Esto se sigue directamente del paso 1.
3) Concluya que todos los números que no tienen expresiones tan radicales no son construibles. Esto también se sigue directamente del paso 1.
4) Finalmente, desea encontrar una caracterización de números construibles que le permita probar que ciertos números no se pueden escribir con una expresión tan radical. Verá, el hecho de que [math] \ sqrt [5] {7} [/ math] está escrito con una raíz de orden superior no significa necesariamente que no se pueda escribir de otra manera usando solo raíces cuadradas. Y, por supuesto, tenemos que demostrar que los otros números que mencioné no tienen tales expresiones.
Este último paso es el más interesante. Tampoco es muy difícil, pero para llevarlo a cabo necesita algunos conceptos del álgebra lineal y la teoría de los campos, en particular la noción del grado de una extensión de campo (que en realidad es solo la dimensión de un espacio vectorial). Una vez que tenga eso, puede demostrar que los números construibles se encuentran en una torre de extensiones de campo sobre [math] \ mathbb {Q} [/ math] de grados que son potencias de 2. El número [math] \ sqrt [3] { 2} [/ math], por otro lado, genera un campo de grado 3, mientras que [math] \ pi [/ math] genera un campo de grado infinito.
Así es como puede probar, con total certeza, que los tres problemas de construcción clásicos (cuadrar el círculo, trisecar un ángulo, doblar un cubo) no se pueden resolver con regla y compás. También puede probar que los únicos polígonos regulares que puede construir con un borde recto y una brújula son aquellos que tienen N lados donde N es el producto de algunos 2 y primos Fermat distintos (primos que son uno más que una potencia de 2, como 3, 5, 17, 257 y 65537. No sabemos si hay otros).
