Cómo encontrar el centro y el radio de una esfera dados cuatro puntos arbitrarios [matemáticas] (x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), (x_3, y_3, z_3), (x_4, y_4, z_4)

Answer 1

Necesita cuatro puntos que NO son coplanares para determinar una esfera.
Dado solo dos puntos, hay innumerables esferas.

Del mismo modo, necesita tres puntos que NO son colineales para determinar un círculo.

---

Actualizar:
Primero, los cuatro puntos no deben ser coplanares, es decir, tres de ellos no son colineales. De lo contrario, no hay esferas que pasen por esos cuatro puntos.
Luego, puede determinar un círculo a partir de tres de ellos. Considere una línea recta que pase por el centro del círculo y sea perpendicular al círculo. El centro de la esfera debe estar en la línea.
Luego, puedes
(1) encuentre un punto en la línea recta que tenga la misma distancia de los tres y el cuarto
o
(2) elija tres de los cuatro puntos (no los mismos que los anteriores) para determinar otra línea recta. Las dos líneas rectas se cruzan en el centro de la esfera.

Debería hacer un dibujo y dar algunas expresiones matemáticas más tarde.

---

Actualización 2:
Mira la foto.

1. Utilice [matemática] A [/ matemática], [matemática] B [/ matemática], [matemática] C [/ matemática] y [matemática] D [/ matemática] para denotar estos puntos secuencialmente.
2. Elija tres de ellos, diga [matemática] A [/ matemática], [matemática] B [/ matemática] y [matemática] C [/ matemática], para dibujar un círculo que pase por estos tres, con el centro [matemática] O ‘[ /matemáticas].
3. Dibuja una normal del círculo a través de [math] O ‘[/ math]. Cada punto [matemática] M [/ matemática] en la normalidad es de la misma distancia con [matemática] A [/ matemática], [matemática] B [/ matemática] y [matemática] C [/ matemática]. [matemáticas] | MA | = | MB | = | MC | [/ matemáticas]
4. Encuentre en la normal un punto [matemático] O [/ matemático] que satisfaga que [matemático] | OD | = | OA | [/ matemático] y por lo tanto [matemático] | OD | = | OA | = | OB | = | OC | [/ matemáticas]. [matemáticas] O [/ matemáticas] es el centro de la esfera deseada.

Parte matemática:
Deje [math] O (x_0, y_0, z_0) [/ math] y el radio sea [math] R [/ math], obtendrá el siguiente sistema de ecuaciones:
[matemáticas] \ left (x_1 – x_0 \ right) ^ 2 + \ left (y_1 – y_0 \ right) ^ 2 + \ left (z_1 – z_0 \ right) ^ 2 = R ^ 2 [/ math]
[matemática] \ izquierda (x_2 – x_0 \ derecha) ^ 2 + \ izquierda (y_2 – y_0 \ derecha) ^ 2 + \ izquierda (z_2 – z_0 \ derecha) ^ 2 = R ^ 2 [/ matemática]
[matemáticas] \ left (x_3 – x_0 \ right) ^ 2 + \ left (y_3 – y_0 \ right) ^ 2 + \ left (z_3 – z_0 \ right) ^ 2 = R ^ 2 [/ math]
[matemática] \ left (x_4 – x_0 \ right) ^ 2 + \ left (y_4 – y_0 \ right) ^ 2 + \ left (z_4 – z_0 \ right) ^ 2 = R ^ 2 [/ math]
Resuélvalos para obtener [matemáticas] O (x_0, y_0, z_0) [/ matemáticas] y [matemáticas] R [/ matemáticas].
La ecuación de la esfera es
[matemática] \ izquierda (x – x_0 \ derecha) ^ 2 + \ izquierda (y- y_0 \ derecha) ^ 2 + \ izquierda (z – z_0 \ derecha) ^ 2 = R ^ 2 [/ matemática]

Answer 2

Se puede construir una esfera a partir de un tetraedro, por lo que Min Lin sugirió que necesita 4 puntos y no solo dos y si los puntos fueran colineales, no todos podrían estar en la superficie de una esfera como puede imaginar Y deberían No ser coplanar, por la misma razón.

Su objetivo es encontrar primero el centro de la esfera.

Denotaré los puntos (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3) y (x4, y4, z4) como A, B, C y D por conveniencia.
El procedimiento seguido es el siguiente:

1. Tome 3 puntos de los cuatro, digamos A, B y C. Dibuje un círculo que pase por estos puntos. (es decir, dibuje un triángulo ABC, encuentre bisectrices perpendiculares a cada lado, AB, BC y CA, la distancia entre el punto en el que se cruzan, digamos O, con cualquiera de los tres puntos es el radio del círculo). Estás en un avión 2 D en este momento.
2. Desde el punto O, tome una normal al plano que contiene el triángulo y el círculo. (Ahora ingresa en 3D) Comprenda que cualquier punto, en esta línea normal, será equidistante a los puntos A, B y C o cualquier punto en el círculo. El centro de la esfera estará en esta línea. Ahora considere el plano que contiene esta línea normal y el punto D.
3. Ahora encontramos un punto X en la normal y un punto E en la circunferencia circunscrita tal que XE = DX, lo estamos haciendo con la esperanza de encontrar que X es el centro de la esfera. (Encuentre la bisectriz perpendicular a ED y el punto en el cual la bisectriz intersecta la línea normal. Ese punto es X)
4. X será el centro de la esfera.

Ahora que tiene el centro, encontrar la ecuación de la esfera es bastante fácil.

(x − x0) ^ 2 + (y − y0) ^ 2 + (z − z0) ^ 2 = R ^ 2

Espero no haberlo hecho parecer confuso.

Answer 3

En aras de la simplicidad, cambiemos el nombre de los puntos de la siguiente manera:

[matemáticas] A = (A_1, A_2, A_3), B = (B_1, B_2, B_3), [/ matemáticas] [matemáticas] C = (C_1, C_2, C_3), D = (D_1, D_2, D_3) [ /matemáticas].

Como ya señaló Min Lin, los puntos [matemática] A, B, C, D [/ matemática] no deben ser coplanares para que la solución sea única. También está claro que 3 puntos de [matemática] A, B, C, D [/ matemática] no pueden estar en la misma línea ya que cualquier línea se encuentra con una esfera como máximo [matemática] 2 [/ matemática] puntos .

Entonces creo que en este caso la solución más aburrida hace lo mejor en términos de cálculos:

Deje que [math] X = (X_1, X_2, X_3) [/ math] sea el centro de la esfera.
Considere los cuadrados de distancias entre [matemática] X [/ matemática] y los puntos [matemática] A [/ matemática], [matemática] B [/ matemática], [matemática] C [/ matemática], [matemática] D [/ matemática ] respectivamente.

Tenemos: [matemáticas] || XA || ^ 2 = (XA, XA) = (XB, XB) = (XC, XC) = (XD, XD) = R ^ 2 [/ matemáticas]
(*) , donde [math] R [/ math] es el radio de la esfera y [math] (\ cdot, \ cdot) [/ math] es el producto escalar estándar.

Entonces [matemáticas] (XA, XA) = (X, X) – 2 (X, A) + (A, A) [/ matemáticas].

Del mismo modo, [matemáticas] (XB, XB) = (X, X) – 2 (X, B) + (B, B) [/ matemáticas].

Por lo tanto, tenemos [matemáticas] (X, A) – (X, B) = (X, AB) = [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {(A, A) – (B, B)} {2} [/matemáticas]

Haciendo el mismo truco con los pares de puntos [matemática] (B, C) [/ matemática] y [matemática] (C, D) [/ matemática] obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

[matemáticas] \ begin {cases} (X, AB) = \ frac {(A, A) – (B, B)} {2} \\ (X, BC) = \ frac {(B, B) – ( C, C)} {2} \\ (X, CD) = \ frac {(C, C) – (D, D)} {2} \\ \ end {casos} [/ matemática]

De hecho, este es un sistema lineal de tres ecuaciones con tres variables dadas por:
[matemáticas] \ begin {pmatrix} A_1 -B_1 & A_2-B_2 & A_3 -B_3 \\ B_1-C_1 & B_2-C_2 & B_3-C_3 \\ C_1 -D_1 & C_2 – D_2 & C_3 -D_3 \ end {pmatrix} \ cdot [ / matemáticas] [matemáticas] \ begin {pmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ frac {A_1 ^ 2 + A_2 ^ 2 + A_3 ^ 2 – B_1 ^ 2 -B_2 ^ 2 -B_3 ^ 2} {2} \\\ frac {B_1 ^ 2 + B_2 ^ 2 + B_3 ^ 2 – C_1 ^ 2 -C_2 ^ 2 -C_3 ^ 2} {2} \\\ frac {C_1 ^ 2 + C_2 ^ 2 + C_3 ^ 2 – D_1 ^ 2 -D_2 ^ 2 -D_3 ^ 2} {2} \ end {pmatrix}. [/ Math]

Por supuesto, uno puede resolverlo explícitamente usando la regla de Cramer, pero supongo que las expresiones serán bastante largas y los cálculos algebraicos bastante tediosos.

Después de resolverlo, puede calcular el radio usando (*).

Puede ser interesante observar que dado

[matemática] \ delta = \ det \ begin {pmatrix} A_1 -B_1 & A_2-B_2 & A_3 -B_3 \\ B_1-C_1 & B_2-C_2 & B_3-C_3 \\ C_1 -D_1 & C_2 – D_2 & C_3 -D_3 \ end { pmatrix} = \ det \ begin {pmatrix} 1 & A_1 & A_2 & A_3 \\ 1 & B_1 & B_2 & B_3 \\ 1 & C_1 & C_2 & C_3 \\ 1 & D_1 & D_2 & D_3 \\ \ end {pmatrix} [/ math]

Entonces uno puede mostrar que el volumen de un tetraedro ABCD es [math] \ dfrac {| \ delta |} {6} [/ math].

Por lo tanto, este problema tiene una solución única si el volumen del tetraedro no es cero.

También se puede demostrar que [math] R = \ dfrac {\ sqrt {p (p-d_1 d_4) (p-d_2 d_5) (p-d_3d_6)}} {| \ delta |} [/ math], donde [ math] d_i [/ ​​math] son ​​la longitud de los bordes correspondientes como se muestra en la imagen, y [math] p = \ dfrac {d_1d_4 + d_2d_5 + d_3d_6} {2} [/ math].

Answer 4

Suponiendo que tiene n puntos que definen una hiperesfera única que vive en dimensiones n-1, así es como determina esa esfera.

El proceso de ir a las hiperesferas de dimensiones superiores se realiza de forma iterativa. Comience con dos puntos. Encuentre el centro y el radio de la “esfera” en 1D que los incluye. (El centro de la esfera 1D es el punto medio. El radio es la mitad de la distancia entre ellos. La “esfera” en sí misma es en realidad solo los dos puntos).

Ahora, agregue un tercer punto. ¿Cómo encontramos el centro y el radio de la esfera en 2D (es decir, círculo) que contiene los tres? Bueno, el centro se encuentra a lo largo de la línea que atraviesa el centro de la esfera en 1D y es normal para el segmento que une sus dos puntos. Encuentre el punto en la línea que sea equidistante del tercer punto recién agregado y de los dos puntos originales. Esto requiere que configure y resuelva una ecuación relativamente simple. El punto que encuentra es el centro de la nueva esfera y el radio es su distancia a cada uno de los tres puntos.

Con la esfera en 2D (es decir, el círculo) en la mano, agregue un cuarto punto. ¿Cómo encontramos la esfera en 3D que contiene los cuatro puntos? Primero, encuentre la línea que pasa por el centro de la esfera en 2D (la que acaba de ubicar en el paso anterior) que es normal al plano que contiene esa esfera. El centro de la nueva esfera en 3D se encuentra en esa línea. Es el punto que es equidistante del cuarto punto recién agregado y cualquiera de los tres puntos originales en el círculo. Una vez que tenga el centro (que nuevamente requiere que resuelva una ecuación relativamente fácil), el radio es solo la distancia a cualquiera de los 4 puntos desde este centro.

Desde aquí, puede agregar un quinto punto y encontrar la esfera en 4D que contiene los cinco puntos de la misma manera. Defina la línea que atraviesa la esfera en 3D que es normal al hiperplano que la contiene. (¿Es más difícil de visualizar ahora, no?!?) Encuentre el punto en la línea que sea equidistante del nuevo quinto punto y cualquiera de los 4 puntos anteriores. Ese es el centro.

Puede seguir agregando más puntos (en dimensiones cada vez más altas) y encontrar esferas siguiendo este proceso de forma iterativa.

Answer 5

La ecuación de una esfera en forma de radio central es [matemática] (xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 + (zc) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemática] donde [matemática] (a, b, c) [/ math] es el centro y [math] r [/ math] es el radio.

Como tienes cuatro puntos en la esfera que se te han dado, satisfarán la ecuación.
Coloque los cuatro puntos, uno por uno, en lugar de (x, y, z) en la ecuación para obtener la relación entre las incógnitas. Resolver para obtener el centro (a, b, c) y el radio r.

Answer 6

La ecuación general de una esfera es [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + 2gx + 2fy + 2hz + c = 0 ……. (1) [/ matemáticas]

conectando las coordenadas de 4 puntos obtenemos

[matemáticas] x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2 + z_1 ^ 2 + 2gx_1 + 2fy_1 + 2hz_1 + c = 0 ……. (2) [/ matemáticas]

Del mismo modo, podemos escribir 3 ecuaciones más.

Para que las 4 ecuaciones sean consistentes en g, h, k y c., el determinante que se muestra a continuación debe ser igual a 0

ECUACIÓN DE LA ESFERA

[matemáticas] \ begin {vmatrix} x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 & x & y & z & 1 \\ x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2 + z_1 ^ 2 & x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2 + z_2 ^ 2 & x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 ^ + y_3 ^ 2 + z_3 ^ 2 & x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 ^ 2 + y_4 ^ 2 + z_4 ^ 2 & x_4 & y_4 & z_4 & 1 \\ \ end {vmatrix} = 0 [/ math]

Answer 7

no deberían ser parte de la misma línea recta. escribiría cuatro ecuaciones para determinar el centro, teniendo en cuenta que todos los puntos tienen la misma distancia a un punto, entonces.
(x1-x5) ^ 2 + (y1-y5) ^ 2 + (z1-z5) ^ 2 = (x2-x5) ^ 2 + (y2-y5) ^ 2 + (z2-z5) ^ 2 = (x3 -x5) ^ 2 + (y3-y5) ^ 2 + (z3-z5) ^ 2 = (x4-x5) ^ 2 + (y4-y5) ^ 2 + (z4-z5) ^ 2
resolver las ecuaciones y (x5, y5, z5) será el centro

Answer 8

1. Asumir un centro
2. Forme triángulos isósceles con los puntos dados.
3. Deje caer una perpendicular y aplique el teorema de Pitágoras.
4. Use el conjunto múltiple de ecuaciones para eliminar las variables y encontrar ‘r’

Answer 9

Ecuación de esfera con 4 puntos