Lo primero, podemos moldear la ecuación de círculo para que se vea así:
[matemáticas] {(x- \ frac {1} {2})} ^ 2 + {(y- \ frac {1} {2})} ^ 2 = \ frac {13} {2} [/ matemáticas]
que nos da la información de que el centro del círculo se encuentra en [matemáticas] (\ frac {1} {2}, \ frac {1} {2}) [/ matemáticas] y el radio es [matemáticas] \ sqrt {\ frac {13} {2}} [/ matemáticas]
Para que un punto x, y se encuentre en el segmento más grande del círculo, debe satisfacer lo siguiente:
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1. Debe estar sobre o dentro del círculo, o
[matemáticas] {(x- \ frac {1} {2})} ^ 2 + {(y- \ frac {1} {2})} ^ 2 \ leq \ frac {13} {2} [/ matemáticas] …… .. (1)
2. Debe estar en el mismo lado de la línea x + y – 2 = 0 que el centro.
Con el conocimiento del punto 2, primero debemos averiguar de qué lado se encuentra el centro x + y> 2, o x + y <2. Al poner los valores del centro, podemos encontrar fácilmente que el centro se encuentra en el último desigualdad, es decir, x + y <2
Entonces el punto debe ser dado por [matemáticas] x + y <2 [/ matemáticas] ……. (2)
Ahora, dado que estamos buscando valores integrales de a, podemos buscar qué valores máximos de x se encuentran dentro del círculo. Los valores x máximos y mínimos se ubicarán en una línea paralela al eje x que pasa por el centro, es decir, y = 1/2. (¿por qué? si no obtienes esto pregúntame en los comentarios)
Si ponemos y = 1/2 en la ecuación de círculo, obtenemos dos valores de x
[matemáticas] x = \ frac {1 – \ sqrt {26}} {2} [/ matemáticas], (aproximadamente -2.xx)
[matemáticas] x = \ frac {1 + \ sqrt {26}} {2} [/ matemáticas] (aproximadamente 3.xx)
A partir de los valores anteriores, podemos descubrir que los valores posibles de x (o a-1) como número entero estarían en el conjunto [-2, 3].
Y así, los valores de y (o a + 1) estarían en el rango (0, 5).
Entonces tenemos para x, y el conjunto {(-2,0), (-1,1), (0,2)…. (3, 5)} como el conjunto de todos los candidatos (aún no calificado).
En el conjunto anterior, podemos descartar fácilmente los candidatos (2,4) y (3,5) porque la ecuación del círculo es simétrica en x e y, por lo tanto, los valores máximo y mínimo de y serían los mismos que los de x.
Entonces, el nuevo conjunto de candidatos se convierte en {(-2,0), (-1,1), (0,2), (1, 3)}
Ahora, sabemos que todos estos puntos pueden o no estar en el segmento más grande del círculo. Reiterando desde arriba, las dos desigualdades (.. 1 y ..2), solo (-2,0) y (-1, 1) satisfacen a ambas.
Entonces, la respuesta es 2.
PD: El punto 0,2 también se encuentra dentro del círculo, pero cae en el acorde, por lo que no se cuenta en el segmento más grande.