¿Qué es la esfera de Riemann?

Answer 1

Como los conceptos básicos de Riemann Sphere se han cubierto más o menos en otras respuestas, prefiero satisfacer la necesidad de esta esfera:

Cuando se estudian funciones complejas para valores más grandes de | z |, el argumento y el plano se vuelven molestos. Es por eso que una Esfera Riemann es más adecuada, ya que para cada punto en el plano complejo, se encuentra una imagen única de ese punto en esta esfera de diámetro 1 unidad. Se puede visualizar como una esfera de dia 1 tocando el plano z en z = 0. El punto en la esfera de Riemann que se encuentra perpendicular al plano se llama ‘Polo Norte’, y el punto diametralmente opuesto al Polo Norte es el ‘Polo Sur’. Por lo tanto, hacer el plano complejo como el plano ecuatorial de la esfera.

Ahora, ¿cómo mapear un punto del plano complejo a la Esfera de Riemann?

Para mapear un punto P desde el plano complejo a esta esfera (digamos P ‘), dibuje una línea entre z y el Polo Norte, y extiéndala en ambas direcciones. El punto en la esfera donde la línea se cruza con la esfera es la imagen correspondiente de z en la Esfera de Riemann.

Promover, adicional,

1. Si la P se encuentra en el ecuador de la esfera, entonces P ‘se encuentra en el mismo punto.
2. Si P se encuentra dentro de la Esfera, entonces P ‘se encuentra en el hemisferio sur de la esfera.
3. Si P se encuentra fuera de la Esfera, entonces P ‘se encuentra en el hemisferio norte de la esfera.

Tenga en cuenta que no se compromete con el concepto de infinito de ninguna manera, ya que también en la esfera de Riemann, el infinito solo se puede lograr si la línea es tangente a la esfera en el polo norte, lo que significa que es paralela al plano complejo (intuitivamente, viene desde el infinito). Por lo tanto, nunca se manifiesta físicamente.

Answer 2

Para entender eso, necesitas conocer el Riemann
Integral, funciones y temas asociados. Es difícil para mí explicar con mi conocimiento limitado en esa área, no ser un matemático puro.
En caso de que esté interesado, una buena discusión, acceda y consulte el libro clásico de una pareja de eruditos, Harold y Bertha Jeffreys. La pareja publicó el libro “Métodos de física matemática” 1950, de Cambridge University Press. Ambos eran profesores y becarios en la Universidad de Cambridge.

Answer 3

Las matemáticas responden que es la compactación de un punto del plano complejo, en el que el “punto en el infinito” se considera como un único punto en una esfera. Usualmente involucra algo llamado proyección estereográfica.

La respuesta intuitiva y simple es esta. Tome el plano complejo e imagine que es un gran disco hecho de goma. Ahora presione hacia abajo en el medio, formando el Polo Sur de una esfera, y doble los bordes exteriores hacia arriba y apriételos en el Polo Norte de la esfera. El origen del plano complejo se identifica con el Polo Sur, y todos los puntos alejados hacia el infinito se consideran el Polo Norte.

Answer 4

Hace mucho tiempo, en el siglo XIX, vivía un hombre llamado Bernhard Reimann. Reimann sabía de raíces extrañas y límites indeterminados y se preguntó, ¿qué pasaría si pudiéramos dividir un número por cero?

Reimann luego tomó la noción abstracta de infinito y lo llamó un número en su nuevo conjunto de números. Su conjunto de números tomó todos los números que conocía, los números complejos, y agregó un número más, infinito.

Ahora Reimann podría hacer reglas y operaciones para su nuevo número que incluía:

Más tarde, se descubrió que el nuevo plano de números se podía visualizar envolviendo el plano alrededor de una esfera, con el infinito en la parte superior. Esta envoltura es realmente una forma de proyección estereográfica, en la que no necesitamos entrar para tener una idea general de la superficie.

Tenga en cuenta que la utilidad de este plano es que las funciones racionales son continuas, lo que resulta útil en un tema posterior al cálculo denominado análisis complejo.

¡Buena pregunta!