Este tipo de cosas suceden mucho en matemáticas. Es decir, a menudo se comienza con algo muy bien comprendido y concreto (como una línea, o una línea euclidiana, si quieres ser muy específico), y luego surge la necesidad de generalizarlo. A menudo hay más de una forma de hacerlo.
En cada generalización, uno pregunta “¿qué hace que la cosa sea útil para mi contexto?” Entonces, pueden promover esa característica a una definición.
Entonces, ¿qué hace que una línea sea útil? Depende del contexto, pero hay algunas respuestas:
1. Es la forma más corta de conectar dos puntos . Si esto es lo que considera la característica crítica de la “línea”, entonces la versión generalizada se llama geodésica. En contextos más exóticos, como otros han mencionado, las geodésicas pueden ser curvas. La geodésica es importante en geometría diferencial y física. (Si uno quiere ser exigente, una geodésica es realmente análoga a un segmento de línea. Pero una geodésica puede extenderse a una curva infinita o a un bucle cerrado, de la misma manera que un segmento de línea puede extenderse a una línea).
- Si desde el punto P (a, b, c) se dibujara un PL y un PM perpendiculares a los planos YOZ y ZOX, ¿cuál es la ecuación del plano OLM?
- Cómo encontrar el centro y el radio de una esfera dados cuatro puntos arbitrarios [matemáticas] (x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), (x_3, y_3, z_3), (x_4, y_4, z_4)
- ¿Podemos trazar geométricamente cualquier número irracional? Si no, ¿qué números irracionales se pueden trazar utilizando métodos geométricos?
- En la figura GHF = EHD, ¿qué afirmación es verdadera según CPCTC?
- Física: ¿Cuál es el ángulo máximo que un edificio puede tener con el suelo antes de que caiga?
2. Es una de las muchas formas posibles de conectar dos puntos . Si esto es lo que considera la característica crítica de la “línea”, entonces la versión generalizada se llama ruta. Es útil en muchas áreas, incluida la topología.
3. Es la gráfica de solución de una ecuación polinómica de primer grado. Esta propiedad tiene sentido en algunos contextos donde la rectitud o la curvatura no tiene sentido. Por ejemplo, si su ecuación polinómica de primer grado no involucra números reales o racionales, sino que involucra números enteros módulo n . Incluso en tales “geometrías finitas”, todavía llamamos a estas líneas, aunque no hay noción de rectitud (o curvatura, para el caso).
4. Es una forma de cortar un avión, un espacio 3D, etc. Es decir, puede cortar un plano o un espacio 3D (de muchas maneras diferentes) en un montón de líneas no superpuestas. Por ejemplo, uno puede pensar en un plano o espacio 3D como una colección de líneas paralelas a una línea dada (como un eje de coordenadas).
A menudo es útil dividir espacios más elaborados en colecciones de subespacios mutuamente equivalentes y bien organizados. En el ejemplo anterior, las líneas son mutuamente equivalentes (porque son todas líneas) y están muy bien organizadas porque son todas paralelas. En un ejemplo no lineal, es fácil imaginar un toro cortado en un montón de círculos que no se superponen de diferentes maneras. Un no ejemplo es cortar el avión en círculos. Uno no puede hacer eso, a menos que permita que un círculo de radio 0 (es decir, un punto) cuente.
Hay formas más generales de describir ese fenómeno, dos de las cuales se llaman foliaciones o haces de fibras. En esos contextos, las “líneas” son hojas o fibras, respectivamente.
5. Son el camino trazado comenzando en un punto y “aumentando” en una dirección particular .
Imagine un avión como una superficie sin fricción, y usted está en un vehículo que puede acelerar (o “aumentar”) en una dirección no orientable. Luego, comenzar un cierto punto y obtener un impulso lo colocará en un camino lineal. Pero en un ejemplo más complicado, a menudo haces lo mismo en presencia de algún campo de fuerza externo. Imagine, por ejemplo, que su vehículo está siendo retorcido y girado por algún patrón de viento.
En ese caso, la generalización de una línea se denomina “curva integral” asociada con el campo vectorial particular.
Estos cinco casos son solo ejemplos, por supuesto. Estoy seguro de que hay otras respuestas!
