La esfera de Riemann es una forma de interpretar los números complejos más un punto en el infinito como los puntos en una esfera. La conexión se realiza mediante la proyección estereográfica.
Coloque una esfera en el plano complejo. El punto de tangencia, llámelo el polo sur, corresponde al número complejo 0. El punto antipodal, el polo norte, corresponderá a [math] \ infty. [/ Math] Para cualquier otro punto en la esfera, dibuje una línea desde el polo norte a través de ese punto, y esa línea se cruzará con el plano complejo en un punto.
Video de AMS que ilustra la proyección estereográfica de la esfera de Riemann
La proyección estereográfica es conforme, es decir, conserva los ángulos. Es un mapeo de conformación particularmente agradable, ya que también conserva los círculos como se muestra en el video.
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Hay muchas aplicaciones de la esfera de Riemann en geometría, geometría algebraica, topología y teoría de números.
La esfera de Riemann es un ejemplo de una superficie de Riemann, una variedad compleja unidimensional. Son los dominios naturales de funciones complejas. Por ejemplo, el logaritmo complejo no se puede definir continuamente en el plano complejo, pero se puede definir en una superficie de Riemann en particular, consulte (Archivo: superficie de Riemann log.svg). Las funciones complejas que se definen en la esfera de Riemann son las funciones racionales, relaciones de dos polinomios.