Digamos que tienes una cuerda en tus manos; Suponiendo que no lo está sosteniendo con fuerza, ¿cómo probaría que la cuerda forma una curva parabólica?

Answer 1

Siempre me molesta la creencia de que la cuerda forma una parábola.

La parábola no necesita esta distinción adicional. Obtiene toda la atención que necesita y algo más. Es una sección cónica, es una ecuación polinómica, es la solución a mil millones de preguntas sobre las trayectorias de las balas de cañón, es la respuesta a cada pregunta sobre la aceleración constante, define la velocidad a la que la gravedad y las fuerzas electromagnéticas disminuyen con la distancia, puede ser fácil de factorizar, es la forma de lentes y espejos en telescopios. Está en todas partes, es la superestrella de las funciones en forma de copa, y conocido por todos.

Ahora, la pobre catenaria vieja. Tiene una ecuación hermosa y simple, pero solo un reclamo a la fama: la forma de una cuerda colgante. Sin embargo, los amantes de la parábola quieren quitarle incluso eso.

Despido, parábola-philes. Dale a la pobre catenaria su único reclamo de fama y vuelve a calcular las trayectorias de las balas de cañón.

Answer 2

Como otros han señalado, la cuerda formaría una catenaria, pero usted preguntó cómo demostrar que la cuerda tiene esa forma. La prueba del artículo de Wikipedia está bien, pero siempre me siento un poco incómodo con la tensión en una cuerda y todas esas cosas buenas.

Permítanme en cambio esbozar una prueba más sofisticada pero más satisfactoria. Esencialmente, está tomando dos puntos, digamos x = 0 yx = 1 , y alguna curva de longitud L , y buscando la curva y = f (x) entre estos dos puntos que minimiza su energía potencial gravitacional. ¿Cuál es la energía potencial gravitacional de una cadena de densidad uniforme descrita por alguna función f (x) ? Si corta la cadena en pequeños segmentos, cada segmento tiene una longitud [matemática] dl ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2 = [1 + (dy / dx) ^ 2] dx ^ 2 [/ matemática], con potencial energía proporcional a la altura sobre el suelo o y , por lo que realmente desea minimizar la función

[matemáticas] \ int_0 ^ 1 y \ sqrt {1 + y ‘^ 2} dx [/ matemáticas]

sujeto a la restricción que

[matemáticas] \ int_0 ^ 1 \ sqrt {1 + y ‘^ 2} dx = L [/ matemáticas]

Para hacer esto, necesita la ayuda de los multiplicadores de Lagrange y la ecuación de Euler-Lagrange, pero eso es solo una maquinaria para obtener la respuesta final, que resultará ser la catenaria. Puedo publicar más detalles si alguien está interesado.

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Editar para más detalles: la restricción se puede escribir

[matemáticas] \ int_0 ^ 1 \ sqrt {1 + y ‘^ 2} – L \, dx = 0 [/ matemáticas]

Ahora agregamos esta restricción con un multiplicador de Lagrange a la integral original y minimizamos, es decir, minimizamos

[matemáticas] \ int_0 ^ 1 y \ sqrt {1 + y ‘^ 2} – \ alpha \ left [\ sqrt {1 + y’ ^ 2} – L \ right] dx [/ math]

Minimice esta integral aplicando la identidad de Beltrami en el integrando, y obtendrá una ecuación diferencial con la catenaria como la solución.

Answer 3

No, porque no es una parábola. Es una catenaria.

Answer 4

Usted no Como no es una curva parabólica, es una catenaria.
Puedes leer sobre esto en Wikipedia: Catenaria

Tenga en cuenta que cuando tiene un puente colgante, la mayoría de ellos tienen un peso de la carretera mucho mayor que el peso de los cables, por lo que la curva se iguala a una parábola en lugar de una catenaria.

Answer 5

La curva que forma una cadena se llama “catenaria” y se define por y = cosh x (coseno hiperbólico). Es similar pero no idéntico a la parábola.