Si se seleccionan 2 puntos en un segmento de línea de longitud a unidades al azar, ¿cómo encontraría la probabilidad de que ninguno de los tres segmentos de línea generados por los 2 puntos aleatorios tenga una longitud menor que a / 4?

Answer 1

Considere uno de los extremos del segmento de línea como origen. Deje que los dos puntos elegidos estén a una distancia [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] desde el origen. Ahora, para que ninguno de los segmentos de línea tenga una longitud menor que [math] \ frac {a} {4} [/ math], las condiciones necesarias son (suponiendo que [math] x <y [/ math]),
[matemáticas] x \ geq \ frac {a} {4} [/ matemáticas]
[matemáticas] y \ leq \ frac {3a} {4} [/ matemáticas]
[matemáticas] y – x \ geq \ frac {a} {4} [/ matemáticas]

La región de interés está dada por dos triángulos pequeños como se muestra en el diagrama a continuación (la longitud elegida aquí es a = 5, pero la longitud es intrascendente, por lo que está bien):

La probabilidad es, por lo tanto, [matemática] \ frac {1} {16} [/ matemática].