¿Cómo probaría que el ángulo de 90 grados es el único ángulo racional en un triángulo pitagórico y que todos los demás ángulos son irracionales?

Answer 1

He hecho una pregunta similar en ¿Se producen ángulos agradables en los triples pitagóricos?

Una prueba seguiría una idea similar a la imposibilidad de algunas construcciones con una construcción de brújula y regla. En particular, podemos observar el grado algebraico de ángulos construibles. Para la brújula y el borde recto permitimos ángulos cuyo grado algebraico es una potencia de dos, entonces [matemática] \ sin {\ frac {\ pi} {4}} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} [/ matemática ] tiene grado 2 como [matemáticas] \ frac {1} {\ sqrt {2}} [/ matemáticas] es una solución de la ecuación de grado dos [matemáticas] x ^ 2- \ frac {1} {2} = 0 [ /matemáticas]. Podemos buscar el grado algebraico de nuestros diferentes ángulos racionales A093819 [matemática] \ sin {\ frac {2 \ pi} {n}} [/ matemática] que comienza 1, 1, 2, 1, 4, 2, 6, 2, 6, 4, 10, 1, 12, 6, 8. Entonces
sin (2 pi) = 0 (deg 1), sin (pi) = 1 (deg 1), sin (2 pi / 3) = 1 / √2 (deg 2), sin (2 pi / 4) = 1 ( deg 1), sin (2 pi / 5) = sqrt [5/8 + sqrt [5] / 8] (deg 4) etc.

Para darnos un triángulo con longitudes de lados enteros, necesitamos que tanto el pecado como el cos sean racionales.

Más simple es mirar la secuencia A183919 nos dice cuando sin (2 pi / n) es racional, esto es solo n = 1, 2, 4 y 12 y ninguno más alto, que sin (2 pi) = 0, sin (pi) = 0, sin (pi / 2) = 1 y sin (pi / 6) = 1/2.

La secuencia A183918 nos dice cuando cos (2 pi / n) es racional, esto es solo n = 1, 2, 3, 4, 6 y ninguno más alto. cos (2 pi) = 1, cos (pi) = – 1, cos (2pi / 3) = – 1/2, cos (pi / 2) = 0, cos (pi / 3) = 1/2.

Esto muestra que no hay ángulo de la forma 2 pi / n que no sea 2 pi y pi, para lo cual tanto el pecado como el cos son racionales. Estamos a punto de llegar, pero necesitamos verificar los ángulos de la forma m pi / n.

Answer 2

Un triángulo pitagórico es un triángulo rectángulo cuyas razones de lados son números racionales, es decir, con las unidades de medida correctas, los lados de un triángulo pitagórico son triples pitagóricos [matemática] a: b: c [/ matemática] donde [matemática ] a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. [/ matemáticas]

El más conocido es un triángulo 3: 4: 5. Otros bastante conocidos son 5:12:13, 7:24:25, 8:15:17 y 20:21:29.

Por supuesto, dado que todos estos son triángulos rectángulos, todos tienen un ángulo recto que es 1/4 de círculo. Estás preguntando si alguno de los dos ángulos agudos puede ser una fracción de un círculo.

Si es así, el seno y el coseno de ese ángulo serían un número racional. Usemos la medición en radianes para nuestros ángulos. Entonces la pregunta se convierte en:

¿Cuándo puede un seno y coseno de un múltiplo racional de π
ser un numero racional?

El teorema de Niven da una respuesta a eso. El único ángulo racional agudo con un seno racional es π / 6, es decir 30 °, pero su coseno no es racional.

Puede encontrar una prueba del teorema de Niven en el Teorema de Niven – ProofWiki.