¿Cuál es una forma geométrica de ver que [math] \ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ 2 [/ math] no admite una estructura de giro?

Answer 1

No sé cuán geométrico es esto, pero al menos es corto: una variedad orientable [matemática] X [/ matemática] admite una estructura de rotación si es su segunda clase Stiefel-Whitney [matemática] w_2 \ en H ^ 2 (X, \ mathbb {F} _2) [/ math] desaparece. Como [math] X = \ mathbb {CP} ^ 2 [/ math] tiene una estructura compleja, su segunda clase de Stiefel-Whitney es la reducción [math] \ bmod 2 [/ math] de su primera clase de Chern [math] c_1 \ en H ^ 2 (X, \ mathbb {Z}) \ cong \ mathbb {Z} [/ math], que por cálculo directo es [math] 3 [/ math] veces un generador. Por lo tanto, su reducción [math] \ bmod 2 [/ math] no es trivial.

En términos más generales, la primera clase de Chern de [math] \ mathbb {CP} ^ n [/ math] es [math] n + 1 [/ math] veces un generador de [math] H ^ 2 (\ mathbb {CP} ^ n, \ mathbb {Z}) \ cong \ mathbb {Z} [/ math], y por lo tanto su reducción [math] \ bmod 2 [/ math] no es trivial si f [math] n [/ math] es par. Entonces [math] \ mathbb {CP} ^ n [/ math] admite una estructura de rotación si f [math] n [/ math] es impar.

Una forma más geométrica de describir lo que obstruye una estructura de espín es que [matemática] X [/ matemática] admite una estructura de espín si la restricción de su haz tangente a su esqueleto 2 es trivializable. Aquí el 2-esqueleto con respecto a la estructura CW estándar es [math] \ mathbb {CP} ^ 1 [/ math], pero la forma más corta que puedo pensar para ver por qué la restricción no es trivializable es calcular el Primera clase de Chern. Sin embargo, tal vez puedas escribir un argumento más geométrico desde aquí.