¿Cuál es la diferencia entre un homeomorfismo y un diffeomorfismo entre múltiples?

Answer 1

Homeomorfismo versus diffeomorfismo

Un homeomorfismo entre dos espacios topológicos (incluidos los múltiples) es una biyección continua con inversa continua. Si nos restringimos a múltiples conectados, entonces la continuidad de la inversa es automática: cualquier biyección continua es un homeomorfismo.

Si los dos espacios en cuestión son múltiples lisos, entonces un difeomorfismo entre ellos es una biyección suave con inversa suave.

Esta vez, sin embargo, no se puede eliminar el requisito de que el mapa y su inverso sean suaves. Por ejemplo, [math] f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} [/ math] definido por [math] f (x) = x ^ 3 [/ math] es suave y biyectivo, pero su inverso [ matemática] f ^ {- 1} (x) = x ^ {1/3} [/ matemática] no es uniforme.

Estructuras lisas exóticas

Todo difeomorfismo es un homeomorfismo, y lo contrario es falso. Por lo tanto, cada clase de variedades suaves de homeomorfismo consiste en una o más clases de diffeomorfismo. Si uno de estos es la estructura lisa “habitual” o “típica”, nos referimos a los demás como estructuras lisas exóticas .

El clásico de John Milnor “Sobre múltiples homeomórficos a la 7-esfera” construyó los primeros ejemplos conocidos de estructuras lisas exóticas. Resulta que hay 28 estructuras lisas distintas en [matemáticas] S ^ 7 [/ matemáticas], y forman un grupo cíclico bajo la operación de suma conectada. Para otro ejemplo, [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] no tiene una estructura lisa exótica para [math] n \ neq 4 [/ math]. Pero [math] \ mathbb {R} ^ 4 [/ math] tiene innumerables infinitas, como lo demostró Cliff Taubes en “Teoría del calibre en 4 múltiples asintóticamente periódicos”.

Muchos de los problemas abiertos más interesantes (y molestos) en topología de baja dimensión se relacionan con estructuras lisas exóticas. La más famosa de ellas es probablemente la conjetura de Poincaré de 4 dimensiones.

Answer 2

Parte de la definición de una variedad es su topología, es decir, una variedad es un espacio topológico.

Un homeomorfismo entre dos espacios topológicos es una función continua entre ellos que tiene una función inversa que es continua. Por lo tanto, un homeomorfismo es un isomorfismo en la categoría de espacios topológicos. La categoría de múltiples es una subcategoría de la categoría de espacios topológicos, por lo que un isomorfismo en la categoría de múltiples también es un homeomorfismo.

Para algunos colectores, desea agregar más estructura, y una estructura común es diferenciable, y llama a este colector como un colector diferenciable . Cuando tiene dos variedades diferenciables, serán diffeomorphic si hay un diffeomorphism entre ellos. No solo es continuo, lo que se requiere para un homeomorfismo, sino que es una función diferenciable con un inverso diferenciable. Por lo tanto, un difeomorpismo de múltiples es un isomorfismo en la categoría de múltiples diferenciables.

Puede agregar aún más estructura, y hay varios tipos diferentes de colectores con estructura adicional, incluidos los colectores Riemannianos que tienen productos internos (para que pueda hablar sobre ángulos y distancia) y los grupos de Lie que son colectores con una estructura grupal. Vienen junto con sus propios conceptos de isomorfismo.

Answer 3

No quitarle nada a las otras grandes respuestas con las definiciones. Pero aquí hay algunos ejemplos que ayudarán.

Un toro (forma de rosquilla) no es homeomorfo a una esfera. El toro tiene un agujero y la esfera no. No podemos deformar continuamente uno en el otro. Sin embargo, un toro es homeomorfo a la forma de una taza de café (un agujero en el mango).

Un cubo es homeomorfo a una esfera, pero no diffeomorphic. Podemos deformar continuamente uno en el otro, pero no podemos hacerlo de manera suave ya que el cubo tiene bordes y la esfera no.

En cuanto a lo que significa sin problemas, depende del contexto. Por lo general, significa infinitamente diferenciable, que es una condición muy fuerte. Si solo se requiere un cierto número de derivados, entonces se especifica como un [math] C ^ 2 [/ math] -diffeomorphism.

Puede obtener una condición aún más fuerte donde el mapa no solo es infinitamente diferenciable, sino también analítico real. Estos se conocen como difeomorfismos analíticos reales y tienden a aparecer en análisis complejos.

Answer 4

Un ejemplo estándar de los Reals para sí mismos es el mapa [math] f (x) = x ^ 3 [/ math] cuya inversa [math] x ^ {1/3} [/ math] no es diferenciable en x = 0, pero puedes encontrar infinitos ejemplos.