Se seleccionan dos puntos al azar en una línea recta de unidades ‘a’ de longitud. ¿Cómo puedo encontrar la probabilidad de que ninguno de los tres segmentos de línea tenga una longitud de a / 4?

La probabilidad de que ninguno de los tres segmentos de línea tenga una longitud de [matemática] a / 4 [/ matemática] es [matemática] 1 [/ matemática].

De hecho, la probabilidad de que cualquier variable aleatoria continua sea igual a cualquier valor particular es cero.


Si está interesado en conocer la probabilidad de que ninguno de los segmentos de línea (llamémoslos [math] x_1, x_2, x_3 [/ math]) tengan longitudes cercanas a [math] a / 4 [/ math] (viz. [ matemáticas] | x_1-0.25 a | <\ epsilon / 2 [/ matemáticas]) es menor que la unidad; pero muy cerca de eso dependiendo de cuán pequeño sea su [math] \ epsilon [/ math]. Esta probabilidad se puede calcular de la siguiente manera:

Sea [math] P [q] [/ math] la probabilidad de que al menos una de las longitudes del segmento de línea se encuentre cerca de [math] a / 4 [/ math] (llame a este evento q ). Rotule cada punto en el segmento de línea de longitud a con un número real en [matemáticas] [0, a] [/ matemáticas]. Hacemos dos experimentos aleatorios donde elegimos cualquier número real de [matemáticas] [0, a] [/ matemáticas]. Deje que estas variables aleatorias se distribuyan uniformemente. Llámalos [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas].

Tenemos 6 casos donde sucede q .
(1) A ~ a / 4
(2) B ~ a / 4
(3) A ~ 3a / 4
(4) B ~ 3a / 4
(5) AB ~ a / 4
(6) BA ~ a / 4

Los casos (1) a (4) tienen la misma probabilidad.
[matemáticas] P [A \ aprox \ frac {a} {4}] = \ frac {\ epsilon} {a} [/ matemáticas]

[matemáticas] P [AB \ aprox. a / 4] = (1-0.25) \ epsilon / a = \ frac {3 \ epsilon} {4a} [/ matemáticas] [1]

[matemáticas] P [q] = 4 \ epsilon / a + 2 * 3 \ epsilon / 4a = 5.5 \ frac {\ epsilon} {a} [/ math]

Tenga en cuenta que, en general, [matemáticas] P (A \ o B) = P (A) + P (B) -P (A \ y B) [/ matemáticas]. Sin embargo, en el caso anterior, los términos [matemática] P (A \ y B) [/ matemática] son ​​[matemática] O (\ epsilon ^ 2) [/ matemática] y, por lo tanto, pueden ignorarse para las pequeñas [matemática] \ epsilon [/ math] y, por lo tanto, P [ q ] se puede escribir como la suma de las probabilidades de (1) a (6).

[1] La diferencia de dos variables aleatorias uniformes estándar independientes tiene la página de distribución triangular estándar en wm.edu