La probabilidad de que ninguno de los tres segmentos de línea tenga una longitud de [matemática] a / 4 [/ matemática] es [matemática] 1 [/ matemática].
De hecho, la probabilidad de que cualquier variable aleatoria continua sea igual a cualquier valor particular es cero.
Si está interesado en conocer la probabilidad de que ninguno de los segmentos de línea (llamémoslos [math] x_1, x_2, x_3 [/ math]) tengan longitudes cercanas a [math] a / 4 [/ math] (viz. [ matemáticas] | x_1-0.25 a | <\ epsilon / 2 [/ matemáticas]) es menor que la unidad; pero muy cerca de eso dependiendo de cuán pequeño sea su [math] \ epsilon [/ math]. Esta probabilidad se puede calcular de la siguiente manera:
Sea [math] P [q] [/ math] la probabilidad de que al menos una de las longitudes del segmento de línea se encuentre cerca de [math] a / 4 [/ math] (llame a este evento q ). Rotule cada punto en el segmento de línea de longitud a con un número real en [matemáticas] [0, a] [/ matemáticas]. Hacemos dos experimentos aleatorios donde elegimos cualquier número real de [matemáticas] [0, a] [/ matemáticas]. Deje que estas variables aleatorias se distribuyan uniformemente. Llámalos [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas].
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Tenemos 6 casos donde sucede q .
(1) A ~ a / 4
(2) B ~ a / 4
(3) A ~ 3a / 4
(4) B ~ 3a / 4
(5) AB ~ a / 4
(6) BA ~ a / 4
Los casos (1) a (4) tienen la misma probabilidad.
[matemáticas] P [A \ aprox \ frac {a} {4}] = \ frac {\ epsilon} {a} [/ matemáticas]
[matemáticas] P [AB \ aprox. a / 4] = (1-0.25) \ epsilon / a = \ frac {3 \ epsilon} {4a} [/ matemáticas] [1]
[matemáticas] P [q] = 4 \ epsilon / a + 2 * 3 \ epsilon / 4a = 5.5 \ frac {\ epsilon} {a} [/ math]
Tenga en cuenta que, en general, [matemáticas] P (A \ o B) = P (A) + P (B) -P (A \ y B) [/ matemáticas]. Sin embargo, en el caso anterior, los términos [matemática] P (A \ y B) [/ matemática] son [matemática] O (\ epsilon ^ 2) [/ matemática] y, por lo tanto, pueden ignorarse para las pequeñas [matemática] \ epsilon [/ math] y, por lo tanto, P [ q ] se puede escribir como la suma de las probabilidades de (1) a (6).
[1] La diferencia de dos variables aleatorias uniformes estándar independientes tiene la página de distribución triangular estándar en wm.edu