El arte de dibujar círculos es mi camino hacia la geometría hiperbólica como una especie de geometría euclidiana. Si vigilas la pelota, entonces funciona de maravilla. Pero aquí uno podría usar D o F, como en 3D o Fabric 3.
Hay dos afirmaciones generales, que son falsas, pero rechazar cualquier elemento lo hace verdadero. El primero es la curvatura (es decir, + o – o 0), el segundo es que ‘en un espacio (orientable) (completo), dos líneas se cruzan (una vez). Rechazar orientable da geometría proyectiva. Rechazar completa da un fragmento de espacio, y rechazar (una vez) da espacio donde las líneas se cruzan varias veces.
Euclides estudió fE (fragmento de espacio de curvatura cero).
Con la esfera, está completa, entonces uno tiene pS (esférico proyectivo = elíptico) u oS (esférico orientable = esférico). pS es más acorde con fE, pero el mundo real es oS, y las líneas se cruzan en las antípodas.
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La geometría hiperbólica nunca está completa, porque el espacio en el infinito no es recto, por lo que en realidad es fH.
Los horizontes hiperbólico y euclidiano son en realidad la misma cosa, que designamos oE (Möbius). Debido a la forma en que definimos líneas rectas en el dibujo circular, oE admite una línea recta a través de cualquiera de los tres puntos. Es, para perdonar el juego de palabras, el resultado de la curvatura a 0/0: el plano euclidiano completo.
El espacio real tiene una curvatura que puede variar de un lugar a otro, por lo que suponer que el espacio es de alguna manera S o E o H, y se deben consultar varias artes diferentes, no es la forma en que lo abordo. En cambio, uno compara la curvatura como el polígono de ceñido, que se encuentra al comparar el radio y el diámetro del círculo con una regla torcida. Esto proporciona una medida directa del polígono de ceñido y, desde su lado, la longitud del arco.