Muchas razones, y la razón que eliges como fundamental depende del gusto. Una razón básica es que la característica de Euler de una esfera depende de su paridad: es [matemática] 1 + (-1) ^ n [/ matemática], por lo que, por ejemplo, solo las esferas de dimensiones impares admiten campos vectoriales que no desaparecen en todas partes. Una razón relacionada es que el grupo ortogonal [matemática] SO (n + 1) [/ matemática] de rotaciones de la esfera [matemática] S ^ n [/ matemática] se comporta de manera diferente dependiendo de la paridad de [matemática] n [/ matemática ] de muchas maneras. El ejemplo más simple de esto es cómo se comportan los valores propios de las matrices de rotación (en su mayoría vienen en pares conjugados complejos, pero cuando [math] n [/ math] es incluso tiene que haber al menos un valor propio real).
La pregunta que hace en el cuerpo no está relacionada, pero no, no es cierto que todos los colectores topológicos de dimensiones pares tengan la estructura de un colector complejo. El ejemplo de las superficies orientables cerradas es engañoso aquí. Hay varias obstrucciones:
- No todos los colectores topológicos tienen estructuras lisas. Los contraejemplos más pequeños están en dimensión [matemática] 4 [/ matemática]; La variedad E8 es un ejemplo explícito.
- No todos los colectores lisos tienen estructuras de colector casi complejas. Hay obstrucciones provenientes de clases características, la más simple es que una estructura casi compleja induce una orientación, y no todos los colectores de dimensiones pares son orientables. El contraejemplo más pequeño es [math] \ mathbb {RP} ^ 2 [/ math].
- No todos los colectores casi complejos admiten estructuras complejas, aunque los únicos contraejemplos conocidos están nuevamente en dimensión [matemática] 4 [/ matemática]; ver ¿Qué variedades casi complejas admiten una estructura compleja? para algunos detalles