¿No sería mejor decir que una línea posee un ‘potencial’ infinito de puntos, en lugar de una cantidad infinita de puntos?

Answer 1

A2A.

Veo muchas palabras en los detalles de la pregunta, pero no matemáticas. Si desea sugerir una definición matemática alternativa de una línea, entonces debe explicarme qué significa un “potencial infinito de puntos” en términos matemáticos utilizando símbolos y fórmulas matemáticas y la deducción lógica de una declaración matemática de otra. En este momento, simplemente no entiendo de qué estás hablando, incluso después de leer la explicación no matemática tres veces.

La noción matemática de un “continuo” se usa en todas partes en las teorías de la física. Sin embargo, es un tema de acalorado debate (que probablemente no se resolverá aquí en Quora) si esta noción matemática abstracta realmente se aplica al universo físico real con precisión y no simplemente como una aproximación.

En este contexto, me parece que está confundiendo la definición matemática abstracta de una línea con la noción física de una línea, y está tratando incorrectamente de utilizar una para deducir las propiedades de la otra. Al hacerlo, está olvidando que la definición matemática de una línea es abstracta e idealizada. Una “línea” física real, por ejemplo, un trozo de cuerda, estará compuesta de constituyentes discretos (átomos) y no un continuo de puntos.

Answer 2

Si quieres hablar sobre una línea física , entonces debes hablar sobre puntos físicos . Al hacerlo, renuncia a las propiedades de los puntos matemáticos tal como está modelado por [math] \ R [/ math] la recta numérica real.

Ahora puede usar las matemáticas para modelar sus puntos y líneas. Serán muy distintos de los puntos y líneas euclidianos, pero es posible que pueda crear una teoría coherente que refleje con precisión su intuición. Tal teoría ya puede existir, aunque esperaría ser consciente de ello si existiera. Ya sea que exista o no, un intento de crearlo aclarará su intuición, responderá a muchas de sus preguntas y posiblemente arroje algunas inconsistencias en su pensamiento.

En cualquier caso, es fundamental ser riguroso para no confundir los diversos puntos y líneas posibles: mantener su intuición, la teoría en desarrollo, la física y otras definiciones separadas y distintas.

También es vital ser riguroso con su definición de infinito: esta área está plagada de falacias y paradojas y hay muchas trampas en las que es fácil caer. En particular, la recta matemática de números reales, [math] \ R [/ math], tiene una cardinalidad o tamaño infinito muy bien definido, [math] \ mathbf {c} [/ math], que es estrictamente más grande que la cardinalidad infinita, [math] \ aleph_0 [/ math], de los números naturales, [math] \ N [/ math]. Para conocer el sabor de lo que está involucrado, puede consultar la hipótesis del continuo : si [math] \ mathbf {c} [/ math] es el próximo infinito más pequeño después de [math] \ aleph_0 [/ math]. Tendrá que tener cuidado con sus definiciones de expresiones como “número finito de puntos con potencial infinito” para tener un sentido preciso.

La adyacencia es otro concepto complicado. En matemáticas tradicionales, ni los números racionales, [matemáticas] \ Q [/ matemáticas], ni los números reales, [matemáticas] \ R [/ matemáticas], tienen ningún concepto del “número siguiente”. De hecho, ambos conjuntos son densos : entre dos números distintos, siempre puedo encontrar otro número en el mismo conjunto. No estoy claro con su definición de una línea que es “puntos adyacentes” cómo estos puntos podrían evitar tener “brechas” (por falta de una mejor palabra) entre ellos.

Answer 3

No sería “más apropiado”, lo que sea que eso signifique. La mayoría de los matemáticos han hecho implícitamente ciertos compromisos filosóficos con el “realismo platónico”. Está bien si no estás de acuerdo con ellos, pero si lo haces, no estás hablando del mismo tipo de objetos matemáticos.

Entonces, la línea es “realmente infinita” porque la línea es un ideal platónico, y podemos usar las matemáticas para estudiarla. Si no quieres estudiar los ideales platónicos, puedes estudiar matemáticas intuitivas. O finitista. O matemática formalista.