Las ecuaciones y = 7x e y = -x dan dos lados iguales de un triángulo isósceles y su tercer lado pasa por (1, -10). ¿Cuál es la ecuación del tercer lado?

Answer 1

Ecuación para el tercer lado:

y = hacha + c

Ecuaciones de los tres lados (digamos A, B, C) del triángulo:

Lado A: y = 7x

Lado B: y = -x

Lado C: y = ax + c

Digamos que los lados B y C se cruzan en (p, q)

Los lados B y C pasan a través de (p, q), entonces

q = -p

q = ap + c

Thrfr, -p = ap + c

c = – (a + 1) p

Entonces lado C: y = ax- (a + 1) p

El lado C pasa a través (1, -10)

Thrfr, -10 = a- (a + 1) p

> p = (a + 10) / (a ​​+ 1)

> q = – (a + 10) / (a ​​+ 1)

Lado C: y = ax- (a + 1) * (a + 10) / (a ​​+ 1)

y = ax- (a + 10)

Digamos que los lados A y C se cruzan en (m, n)

Thrfr, n = 7m

n = am- (a + 10)

m (a-7) = (a + 10)

> m = (a + 10) / (a-7)

> n = 7 (a + 10) / (a-7)

Los lados A y B se cruzan en (0,0) como se desprende de las ecuaciones respectivas

Como es un triángulo isósceles con los lados A y B como lados iguales,

Thrfr, la distancia entre (0,0) y (p, q) es igual a la distancia entre (0,0) y (m, n)

Entonces, raíz de (p ^ 2 + q ^ 2) = raíz de (m ^ 2 + n ^ 2)

Cuadrando ambos lados,

2 {(a + 10) / (a ​​+ 1)} ^ 2 = 50 {(a + 10) / (a-7)} ^ 2

{(a + 10) / (a ​​+ 1)} ^ 2 = 25 {(a + 10) / (a-7)} ^ 2

Tomando raíz debajo de ambos lados

(a + 10) / (a ​​+ 1) = 5 (a + 10) / (a-7)

a-7 = 5a + 5

a = -3

O

(a + 10) / (a ​​+ 1) = -5 (a + 10) / (a-7)

a-7 = -5a-5

-6a = -2

a = 1/3

Por lo tanto, ecuaciones para el lado C:

Donde a = -3

c = – (a + 1) p = – (a + 1) * (a + 10) / (a ​​+ 1) = – (a + 10)

Para a = -3, c = -7

y = -3x-7 (respuesta)

O

Para a = 1/3, c = – (31/3)

y = 1/3 x – 31/3

3y = x-31 (respuesta)

Answer 2

Deje que el tercer lado tenga pendiente m. Ahora, dado que dos de los ángulos del triángulo isósceles serán iguales, podemos igualarlos usando la fórmula de la pendiente, es decir:

[matemáticas] tan (θ) = (m_2-m_1) / (1 + m_1m_2) [/ matemáticas] (Ángulo en sentido antihorario)

Para el triángulo dado, las pendientes de las líneas son + 7, -1 ym.

Entonces tenemos:

[matemáticas] (m + 1) / (1-m) = (7-m) / (1 + 7m) [/ matemáticas]

[matemáticas] 3m ^ 2 + 8m-3 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] m = 1/3, -3 [/ matemáticas]

Entonces tenemos dos ecuaciones posibles para la tercera línea:

[matemática] x-3y-31 = 0 [/ matemática] para [matemática] m = 1/3 [/ matemática]

[matemática] 3x + y + 7 = 0 [/ matemática] para [matemática] m = -3 [/ matemática]

Answer 3

y = 7.x, pendiente (m1) de esta línea = 7.

y = -x, pendiente (m2) de esta línea = -1

Dejar pendiente (m3) del tercer lado = m

Ángulo entre el primer y tercer lado = Ángulo entre el segundo y tercer lado

(7 m) / (1 + 7 m) = (m + 1) / (1 m)

7-m-7m + m ^ 2 = m + 7m ^ 2 + 1 + 7m

7–8m + m ^ 2 = 8m + 7m ^ 2 + 1

-6m ^ 2–16m + 6 = 0

3m ^ 2 + 8m-3 = 0

3m ^ 2 + 9m-m-3 = 0

3 m (m + 3) -1 (m + 3) = 0

(m + 3) (3 m-1) = 0

O bien m + 3 = 0, => m = -3

o 3m-1 = 0, => m = 1/3

Las ecuaciones del 3er lado son: –

y + 10 = -3 (x-1), e y + 10 = 1/3 (x-1)

y + 10 = -3x + 3, y x-1 = 3y + 30

3x + y + 7 = 0, y x-3y-31 = 0, respuesta.

Answer 4

Sea la ecuación del tercer lado: y = mx + c. Como pasa a través de (1, -10) podemos escribir: -10 = m + c o c = -10-m. Por lo tanto, el tercer lado es: y = mx-10 -m. Ahora descubra sus puntos de intersección (A y B) con las dos líneas dadas, y = -x e y = 7x. Las líneas y = -x e y = 7x se intersecan en O: (0,0) y OA = OB adicional porque el triángulo dado es isósceles. Ahora puede obtener una ecuación en ‘m’, usando la fórmula de la distancia, que cuando se resuelva le dará las ecuaciones de AB. Dejaré este ejercicio al lector.

Answer 5

Considere el punto B en [matemáticas] y = -x [/ matemáticas]. El cuadrado de la distancia entre B y (0,0) es [matemática] 2 {x} ^ {2} [/ matemática].

Puede usar las coordenadas del punto dado A = (1, -10) y B = (x, -x) para obtener una ecuación para el rayo a. Ahora puede calcular la intersección entre esta línea y [matemáticas] y = 7x [/ matemáticas], que proporciona una expresión para el cuadrado de la distancia entre el origen y este punto.

Iguala las expresiones para las distancias al cuadrado y resuelve.