En el triángulo ABC, BE y CF son altitudes, BE = 60, CF = 56, BC = 65. ¿Cuál es el área de ABC?

Answer 1

Dado en [matemática] ~ \ triángulo ABC [/ matemática], [matemática] ~ BE = 60 ~ [/ matemática], [matemática] ~ CF = 56 ~ [/ matemática] y [matemática] ~ BC = 65 [/ matemática ] Sea [math] ~ AD ~ [/ math] la altitud desde [math] ~ A ~ [/ math] a [math] ~ BC [/ math].

Ahora, aplique el teorema de Pitágoras en [math] ~ \ triangle BEC ~ [/ math] y [math] ~ \ triangle BFC. [/ Math]

En [matemáticas] ~ \ triángulo BEC [/ matemáticas], [matemáticas] ~ BE = 60 ~ [/ matemáticas], [matemáticas] ~ BC = 65 ~ [/ matemáticas] [matemáticas] \ por lo tanto CE = 25 [/ matemáticas] .

En [matemática] ~ \ triángulo BFC [/ matemática], [matemática] ~ CF = 56 ~ [/ matemática], [matemática] ~ BC = 65 ~ \ por lo tanto BF = 33 [/ matemática].

Entonces, [matemática] ~ tan \ angle ECB = \ frac {BE} {CE} = \ frac {60} {25} ~ [/ math] y [math] ~ tan \ angle FBC = \ frac {CF} {BF } = \ frac {56} {33}. [/ matemáticas]

o

[matemática] tan \ angle C = \ frac {60} {25} \ porque \ angle ECB = \ angle ACB = \ angle C [/ math]

y

[matemáticas] tan \ ángulo B = \ frac {56} {33} \ porque \ angle FBC = \ angle ABC = \ angle B [/ math]

Entonces, el área de [math] ~ \ triangle ABC = A_r ~ [/ math] está dada por

[math] A_r = \ frac {1} {2} \ times AD \ times BC [/ math]

Para calcular [math] ~ AD [/ math], tenemos, [math] ~ tan \ angle B = \ frac {56} {33} = \ frac {AD} {BD} \ implica BD = AD \ times \ frac {33} {56} [/ matemáticas]

Además, [math] ~ tan \ angle C = \ frac {60} {25} = \ frac {AD} {DC} \ implica DC = AD \ times \ frac {25} {60} [/ math]

Pero, [matemáticas] ~ [/ matemáticas] [matemáticas] BC = BD + CD [/ matemáticas]

[matemáticas] = (AD \ veces \ frac {33} {56}) + (AD \ veces \ frac {25} {60}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = AD \ veces (\ frac {33} {56} + \ frac {25} {60}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = AD \ veces \ frac {169} {168} [/ matemáticas]

o

[matemáticas] AD = BC \ veces \ frac {168} {169} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto A_r [/ matemáticas] [matemáticas] = \ frac {1} {2} \ veces AD \ veces BC [/ matemáticas]

[math] = \ frac {1} {2} \ times (BC \ times \ frac {168} {169}) \ times BC [/ math]

[matemáticas] = \ frac {1} {2} \ veces (BC) ^ 2 \ veces \ frac {168} {169} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {1} {2} \ veces (65) ^ 2 \ veces \ frac {168} {169} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2100 [/ matemáticas]

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Notable:

Esto me llevó a derivar una forma para tal escenario en el que se dan dos altitudes. Entonces, si en [matemáticas] ~ \ triángulo ABC ~ [/ matemáticas], [matemáticas] ~ [/ matemáticas] [matemáticas] BE ~ [/ matemáticas], [matemáticas] ~ [/ matemáticas] [matemáticas] CF ~ [/ matemáticas ] y un lado [matemáticas] ~ BC ~ [/ matemáticas] se dan

entonces, [matemáticas] ~ área (\ triángulo ABC) = \ frac {1} {2} \ veces \ frac {(BC ^ 2) (tan ~ B \ veces tan ~ C)} {(tan ~ B + tan ~ C)} [/ matemáticas]

Calcule [math] tan ~ B ~ [/ math] y [math] ~ tan ~ C ~ [/ math] como se describió anteriormente y obtenga el área.

Answer 2

La fórmula de Heron es la siguiente:

[math] \ Delta = \ sqrt {s (s – a) (s – b) (s – c) (s – d)} [/ math].

Observe que byc son [matemática] \ frac {2 \ Delta} {BE} [/ matemática] y [matemática] \ frac {2 \ Delta} {CF} [/ matemática], respectivamente. La longitud de a = BC, ya lo sabemos.

Sustituya estos valores de byc en la fórmula de Heron y resuelva [math] \ Delta [/ math].