¿Cuál es el ortocentro de un triángulo cuando los vértices son (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)?

Answer 1

Fórmula Ortocentro

El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de todas las altitudes del triángulo. El ortocentro de un triángulo se denota con la letra ‘O’. No existe una fórmula directa para calcular el ortocentro del triángulo. El ortocentro de un triángulo se puede calcular utilizando los siguientes pasos:

Paso 1: Calcula la pendiente de los lados del triángulo. La fórmula para calcular la pendiente se da como,

Paso 2: Calcula la pendiente perpendicular de los lados del triángulo. Nos da la pendiente de las altitudes del triángulo. La fórmula para calcular la pendiente perpendicular se da como,

Paso 3: Luego, usando la forma de pendiente de punto, calcule la ecuación para las altitudes con sus coordenadas respectivas. La fórmula de la pendiente del punto se da como,

Paso 4: Finalmente, resolviendo cualquier ecuación de dos altitudes, podemos obtener el ortocentro del triángulo.

Pregunta: ¿ Encuentra el ortocentro de un triángulo cuando sus vértices son A (3, 5), B (2, 2), C (3, 1)?
Solución:

Dado, los vértices del triángulo
A = (3, 5)
B = (2, 2)
C = (3, 1)

Pendiente de AB
[matemáticas] = y2 − y1x2 − x1y2 − y1x2 − x1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2−52−32−52−3 [/ matemáticas]

[matemáticas] = −3−1−3−1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 3 [/ matemáticas]

Pendiente de CF
= [matemáticas] Pendiente perpendicular de AB
= −1 Pendiente de AB − 1 Pendiente de AB [/ math]

[matemáticas] = −13−13 [/ matemáticas]

La ecuación de CF se da como,
[matemáticas] y – y1 = m (x – x1)
y – 1 = −13−13 (x – 3)
3y – 3 = -x + 3
x + 3y = 6 [/ matemáticas] ——————————– (1)

Pendiente de BC
= y2 − y1x2 − x1 [matemática] y2 − y1x2 − x1 [/ matemática]

= 1−23−2 [matemática] 1−23−2 [/ matemática]

= −11 [matemáticas] −11 [/ matemáticas]

= -1

Pendiente de AD
= Pendiente perpendicular de BC
= −1 Pendiente de BC [matemática] −1 Pendiente de BC [/ matemática]

= −1−1 [matemáticas] −1−1 [/ matemáticas]

= 1

La ecuación de AD se da como,
[matemáticas] y – y1 = m (x – x1)
y – 5 = 1 (x – 3)
y – 5 = x – 3
x – y = -2 [/ matemáticas] ——————————– (2)

Restando la ecuación (1) y (2),
[matemáticas] x + 3y = 6
-x + y = 2 [/ matemáticas]
————————-
[matemáticas] 4y = 8
y = 2 [/ matemáticas]

Sustituyendo el valor de y en la ecuación (1),
[matemáticas] x + 3y = 6
x + 3 (2) = 6
x + 6 = 6
x = 0 [/ matemáticas]

Ortocentro = (0,2)

¡¡Gracias!!

Answer 2

El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de todas las altitudes del triángulo. El ortocentro de un triángulo se denota con la letra ‘O’.

No existe una fórmula directa para calcular el ortocentro del triángulo.

El ortocentro de un triángulo se puede calcular utilizando los siguientes pasos:

Paso 1: Calcula la pendiente de los lados del triángulo. La fórmula para calcular la pendiente se da como,

Pendiente de una línea = (y2-y1) / (x2-x1).

Paso 2: Calcula la pendiente perpendicular de los lados del triángulo. Nos da la pendiente de las altitudes del triángulo. La fórmula para calcular la pendiente perpendicular se da como,

Pendiente perpendicular de línea = —1 / pendiente de una línea

Paso 3: Luego, usando la forma de pendiente de punto, calcule la ecuación para las altitudes con sus coordenadas respectivas. La fórmula de la pendiente del punto se da como,

Fórmula de pendiente de punto, (y-y1) = m (x-x1)

Paso 4: Finalmente, resolviendo cualquier ecuación de dos altitudes, podemos obtener el ortocentro del triángulo.

Answer 3

El punto donde se encuentran las altitudes de un triángulo llamado Ortho Center son (x1, y1) (x2, y2) (x3, y3)

Supongamos que hemos dado un triángulo ABC cuyos vértices son (x1, y1) = (0, 6), (x2, y2) = (4, 6), (x3, y3) = (1, 3)

En el paso 1

Encontramos pendientes de AB, BC, CA

Fórmulas de pendiente y2-y1⁄ x2-X1

Pendiente AB = 6-6 / 4-0 = 0/4 = 0

BC = 3-6 / 1-4 = -3 / -3 = 1

CA = 6-3 / 0-1 = 3 / -1 = -3

En el paso 2

Pero sabemos que Orthocentre es el punto donde se encuentran las perpendiculares extraídas del vértice al lado opuesto. Entonces

Pensemos que un triángulo ABC y AD, BE, CF son perpendiculares dibujados al vértice.

Pendiente AD = -1 / pendiente BC = -1/1 = -1
BE = -1 / pendiente CA = -1 / -3 = 1/3
CF = -1 / pendiente AB = -1/0 indefinido

Paso 3 ahora tenemos vértices y pendientes de AD, BE, CF encontramos ecuaciones de líneas AD, BE y CF

Tenemos A (0,6) y m = -1 sustituimos en la ecuación y-y1 = m (x-X1)
y-6 = -1 (x-0)
y + x = 6 – ecuación 1
B (4,6) y pendiente BE (1/3)
y-6 = 1/3 (x-4)
3Y-18 = x-4
3y-x = 14 -eq 2

C (1,3) y cuya pendiente CF no está definida

Entonces la línea es vertical y x = 1 es la ecuación

Ahora resolviendo cualquiera de las ecuaciones 1 y 2 obtenemos valores para (x, y) orhto center
(x, y) = (1,5)
resolviendo la ecuación 1 y la ecuación 2

Ayuda gratuita de geometría

Answer 4

Realmente me molesta que dos personas parezcan haber plagiado la misma respuesta a esta pregunta … y esa respuesta ni siquiera es “completa”, por decirlo cortésmente, en la medida en que esa respuesta afirma que no hay una fórmula para el respuesta, cuando de hecho la hay: no es “bonita”, y no voy a simplificarla (la forma simplificada es probablemente “más bonita” que la que voy a proporcionar) de la forma que obtuve ( y estoy casi seguro de que se simplifica, porque al derivar mi fórmula, eliminé la simetría inherente que tiene el enunciado del problema en los índices), pero aquí está.

Dejando [math] \ Delta_ {ij} \ cdot = \ cdot_i – \ cdot_j [/ math],

[matemática] Y = (\ Delta_ {21} y) (\ Delta_ {31} y) (\ Delta_ {23} y) [/ matemática], y

[matemáticas] A = \ Delta_ {31} x \ Delta_ {21} y – \ Delta_ {21} x \ Delta_ {31} y [/ matemáticas], tenemos

[matemáticas] x_o = [Y + \ Delta_ {31} x \ Delta_ {21} y (x_2) + \ Delta_ {12} x \ Delta_ {31} y (x_3)] / A [/ matemáticas]

[matemáticas] y_o = \ Delta_ {12} x [x_o-x_3] / \ Delta_ {21} y + \ Delta_ {31} y [/ matemáticas].

(Técnicamente, antes de usar esta fórmula, uno debe verificar que los tres puntos dados no sean colineales, porque entonces el ortocentro no existe, porque los tres puntos no forman un triángulo, pero supongo que la fórmula revelaría esto de todos modos, por la fórmula que da un resultado indefinido, es decir, una división por cero, para al menos una de las dos coordenadas deseadas; por lo tanto, si está usando esto en un programa de computadora, probablemente podría salirse con la captura de una división por excepción cero y, en ese caso, devolver NaN, no devuelva solo (0,0), porque esa es una respuesta correcta viable. Además, si está usando esto en un programa, debe probarlo unitario; algunos triángulos buenos para usar para ese propósito sería cualquier triángulo con el origen como un vértice y los otros dos vértices en cualquier lugar de cada uno de los dos ejes: ¿por qué sería una buena prueba? Sugerencia: ¿Dónde está el ortocentro de tal triángulo? Sugerencia: ¿qué tipo de triángulo ¿Sería eso, y qué más tiene de especial? Y un triángulo equilátero digamos, ninguno de cuyos vértices es el origen, pero cuyo ortocentro es el origen; pero incluya triángulos arbitrarios como casos de prueba también.)

Answer 5

Sin duda, esto está formulado de manera más elegante usando álgebra geométrica. En P (R * 2,0,1) … también conocido como Álgebra Geométrica Proyectiva 2D … la fórmula para el ortocentro de un triángulo con puntos x1, y1 x2, y2 x3, y3 se da como:

[matemáticas] A = e_ {12} + x1 * e_ {01} + y1 * e_ {02}; [/ matemáticas]

[matemáticas] B = e_ {12} + x2 * e_ {01} + y2 * e_ {02}; [/matemáticas]

[matemáticas] C = e_ {12} + x3 * e_ {01} + y3 * e_ {02}; [/matemáticas]

[matemáticas] O = (C \ cdot (A \ bigvee B)) \ bigwedge (A \ cdot (B \ bigvee C)) [/ math]

Usando por ejemplo (mi propio) enkimute / ganja.js que se ve así:

var ortho = Álgebra (2,0,1) .inline ((x1, y1, x2, y2, x3, y3) => {
var A = 1e12 + x1 * 1e01 + y1 * 1e02;
var B = 1e12 + x2 * 1e01 + y2 * 1e02;
var C = 1e12 + x3 * 1e01 + y3 * 1e02;
var O = (A << (B & C)) ^ (B << (A&C));
console.log (“resultado:” + O.e01 / O.e12 + ‘,’ + O.e02 / O.e12);
});

orto (0,1, -1, -1,1, -1);

=> resultado: 0, -0.5

Answer 6

Sea O (h, k) el ortocentro de [matemática] \ triángulo ABC [/ matemática]

[matemáticas] \ overline {AO} = (h-x_1) \ hat i + (k-y_1) \ hat j [/ math]

[matemáticas] \ overline {BC} = (x_3-x_2) \ hat i + (y_3-y_2) \ hat j [/ math]

[matemáticas] \ overline {AO} \ perp \ overline {BC} [/ math] es decir, [matemáticas] \ overline {AO}. \ overline {BC} = 0 [/ math]

[matemáticas] (h-x_1) (x_3-x_2) + (k-y_1) (y_3-y_2) = 0 [/ matemáticas]

reordenando [matemáticas] h (x_3-x_2) + k ((y_3-y_2) = x_1 ((x_3-x_2) + y_1 (y_3-y_2) …… (1) [/ matemáticas]

intercambiando los sufijos 1 y 2 obtenemos otra ecuación.

[matemáticas] h (x_3-x_1) + k ((y_3-y_1) = x_2 (x_3-x_21) + y_2 (y_3-y_1) …… (2) [/ matemáticas]

resolviendo (1) y (2) obtenemos

[matemáticas] h = \ dfrac {\ begin {vmatrix} x_1 (x_3-x_2) + y_1 (y_3-y_2) e y_3-y_2 \\ x_2 (x_3-x_1) + y_2 (y_3-y_1) y y_3-y_1 \ end { vmatrix}} {\ begin {vmatrix} x_3-x_2 & y_3-y_2 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 \ end {vmatrix}} [/ math]

[matemáticas] k = \ dfrac {\ begin {vmatrix} x_3-x_2 & x_1 (x_3-x_2) + y_1 (y_3-y_2) \\ x_3-x_1 & x_2 (x_3-x_1) + y_2 (y_3-y_1) \ end { vmatrix}} {\ begin {vmatrix} x_3-x_2 & y_3-y_2 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 \ end {vmatrix}} [/ math]

Answer 7

Si dibuja una perpendicular de cualquiera de los dos vértices, su intersección será orto-centro.
Encuentra las ecuaciones de los lados del triángulo y la ecuación perpendicular.

O

El centro orto y el circuncentro se dividen por centroide en 2: 1

Answer 8

Si está buscando la fórmula de coordenadas de ortocentro, entonces no lo haga. No intente encontrar y recordar fórmulas de estos puntos, como ortocentros, incentivos, etc. Se descubren por métodos normales como otros han escrito.

Por lo general, tendrá números en lugar de x1, y2, etc. Simplemente busque coordenadas utilizando un método simple.

Answer 9

Deje entrar ▲ ABC,

A (x1, y1)

B (x2, y2)

C (x3, y3)

Luego ,

la abscisa del ortocentro está dada por,

X = [(x1 tan A + x2 tan B + x3 tan C) / (tan A + tan B + tan C)].

La ordenada del ortocentro está dada por,

Y = [(y1 tan A + y2 tan B + y3 tan C) / (tan A + tan B + tan C)].

Entonces el ortocentro es (X, Y)

NOTA: Esta es una fórmula general solo para usarse cuando los valores de tan A, tan B y tan C son computables manualmente o se proporcionan junto con la pregunta.

Tan A se puede encontrar calculando el ángulo entre las líneas AB y AC. De manera similar, se pueden calcular tan B y tan C.

Answer 10

Considere el punto O (a, b) como circuncentro. Encuentre la distancia de O desde los tres vértices (OA, OB y ​​OC). Calcule dos distancias (OA = OB). Considere el punto O (a, b) como el centro del triángulo ABC. Encuentre la distancia de O desde tres vértices (diga OA, OB y ​​OC). Adecue las dos distancias (OA = OB). Los términos a ^ 2 y b ^ 2 se cancelarán. Obtendrá una ecuación en a & b. Ahora iguale otras dos distancias (OA = OC) .
Obtenemos otra ecuación en ay b. Resuelve ambas ecuaciones y obtenemos el valor de ay b. Esto da el circuncentro O (a, b). ‘La distancia de los vértices desde el circuncentro es igual.’ Esta propiedad se usa .